求乘法逆元的几种方法

目录

• 方法1
• 方法2
• 方法3(线性批量求逆元)

求模意义下一个数的乘法逆元有多种方法.

方法1

利用裴蜀定理(扩展欧几里得算法)。

直接解线性方程\(ax+bp=1\), 可知\(a^{-1}=x\).

方法2

利用费马小定理。

对任意素数\(p\), 若\(a<p\), 则 \(a^{p-1}\equiv 1(\mod p)\)

推至\(a^{p-2}\equiv a^{-1}(\mod p)\)

所以使用快速幂算法求得模意义下的\(a^{p-2}\)就可以得到\(a\)的乘法逆元

方法3(线性批量求逆元)

使用了一个巧妙的递推构造.

首先我们知道 \(p=aq+r, 0 \le r < a\), 其中\(q=\lfloor \frac p a\rfloor\)

由此 \(aq+r\equiv 0 (\mod p)\)

由此\(aa^{-1}r^{-1}q + ra^{-1}r^{-1} \equiv 0 (\mod p )\)

由此\(-r^{-1}q\equiv a^{-1}(\mod p)\)

上式中\(r < a\), 所以, 对于一个数, 我们总可以利用比其小的数的逆元推出它的逆元.

又有\(1^{-1} =1\)

由此我们建立了一个线性递推方法.

下面会给出这种方法的程序实现.

/*
    Problem : [Luogu]P3811
    Content : 给定n,p, 求1~n中所有整数在模p意义下的乘法逆元。
    Author  : shleodai (blog : www.cnblogs.com/Eroad)
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long 
const int maxn = 3e6+5;
int inv[maxn], p, n;
signed main(){
    scanf("%d %d", &n, &p);
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++) inv[i] = (p - (ll) (p/i) * inv[p%i] % p) % p;
    for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d\n", inv[i]);
    return 0;
}