杜教筛&min_25筛复习

杜教筛

适用条件

1. 你要能构造出\(g(x),h(x)\)，使得\(h=f*g\)。

2. \(G(x),H(x)\)的值可以快速计算。

过程

我们要求的是\(F(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)\)，现在有\(h=f*g\)，\(G(x),H(x)\)分别为\(g(x),h(x)\)的前缀和。

\[\begin{aligned} H(n)=&\sum_{i=1}^{n}h(i)\\ =&\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}f(\frac{i}{d})g(d)\\ =&\sum_{d=1}^{n}g(d)\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}f(i)\\ =&\sum_{d=1}^{n}g(d)F(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor)\\ g(1)F(n)=H(n)-&\sum_{d=2}^{n}g(d)F(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor) \end{aligned} \]

通过线性筛预处理出前\(n^{\frac{2}{3}}\)的前缀和，加上记忆化，可以做到\(O(n^{\frac{2}{3}})\)的时间复杂度。

min_25筛

适用条件

1. \(f(P)\)的值是一个关于\(P\)的多项式。

2. \(f(P^Q)\)的值可以快速计算。

3. 当然，\(f(x)\)必须是一个积性函数。

原理

先咕了，咕咕咕。

第一次处理

假设\(f'(x)=x^k\)，令\(g[P_i][x]\)表示所有\(f'(y)\)的和，其中\(1 \leq y \leq x\)，\(y\)是质数或者\(y\)的最小质因子大于\(P_i\)，有这样的递推式：

\[g[P_i][x]=g[P_{i-1}][x]-f'(P_i)(g[P_{i-1}][\lfloor\frac{x}{P_i}\rfloor]-\sum_{j=1}^{i-1}f'(P_j)),\ x \geq P_i^2 \]

\[g[P_i][x]=g[P_{i-1}][x],\ x < P_i^2 \]

\(g[P_i][x]\)的第一维可以使用滚动数组优化掉，时间复杂度为\(O(\frac{n^{\frac{3}{4}}}{\log n})\)。

第二次处理

为了方便，这里使用\(g[x]\)表示\(g[P_{cnt}][x]\)（\(cnt\)表示质数个数）。

令\(S(x,P_i)\)表示所有\(f(y)\)的和，其中\(1 \leq y \leq x\)，\(y\)的最小质因子大于等于\(P_i\)，有：

\[S(x,P_i)=g[x]-\sum_{j=1}^{i-1}f(P_j)+\sum_{j=i}^{P_j^2 \leq x}\sum_{k=1}^{P_j^{k+1} \leq x}f(P_j^k)S(\lfloor\frac{x}{p_j^k}\rfloor,P_{j+1})+f(P_j^{k+1}) \]

这里无需记忆化，直接递归计算即可，时间复杂度为\(O(\frac{n^{\frac{3}{4}}}{\log n})\)。