退役前的做题记录

[BZOJ5197][CERC2017]Gambling Guide：期望DP+Dijkstra

令\(dis[x]\)表示从\(x\)出发到终点的期望距离，显然每个点只能从期望值比它小的点转移，也就是我们希望从小到大计算出所有点的期望值，可以发现这个过程类似于Dijkstra，所以直接开个优先队列像Dijkstra那样处理就好了。

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[BZOJ5191][USACO2018FEB]Slingshot：二维数点

由于只能使用一次弹弓，所以根据起点终点和弹弓的起点终点的位置关系分类讨论，一共有\(4\)种情况加\(1\)种不使用弹弓的情况，然后对每种情况类似二位数点那样统计最小值就好了，可以使用扫描线+树状数组。

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[BZOJ5187][USACO2018JAN]Sprinklers：数学统计

先求出每一列的\(top\)和\(bot\)，枚举每一个横坐标，统计的时候用总的减去不合法的。

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[BZOJ5186][USACO2018JAN]Cow at Large：点分治

考虑让奶牛的出发点作为根，如果一棵子树的根节点到离它最近的度数为\(1\)的节点的距离\(\leq\)它到奶牛的距离的话，这棵子树内只需要选择这一个节点就可以了。

令\(f(x)\)表示点\(x\)到离它最近的度数为\(1\)的节点的距离，所以对于每个点\(x\)的答案，就是\(\sum_{y=1}^{n}[f(y) \leq dis(x,y)且f(fa[y]) < dis(x,y)]\)，我们希望每个合法子树只在它的根节点处被统计一遍。有一个很厉害的式子，就是若一棵子树节点数为\(n\)，因为：

\[\sum_{i=1}^{n}deg[i]=2n-1 \]

所以有：

\[\sum_{i=1}^{n}2-deg[i]=1 \]

把这个东西套在这道题的式子里面，就是：

\[\sum_{y=1}^{n}[f(y) \leq dis(x,y)](2-deg[i]) \]

求这个东西可以用点分治解决。

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[UOJ#449][集训队作业2018]喂鸽子：min-max反演+DP+NTT

对题意min-max反演后，我们要求的东西变成了\(n\)只鸽子中的\(m\)只第一个吃到\(k\)个玉米的期望时间。

考虑DP，令\(f[i][j]\)表示\(i\)只鸽子\(k\)次后不存在鸽子吃到不少于\(k\)个玉米，这个DP可以使用NTT加速转移，然后用计算好的\(f\)数组推出上面那个问题的答案即可。

时间复杂度为\(O(n^2k \log(nk))\)。

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[BZOJ5250][九省联考2018]秘密袭击：树形DP

正解暂时学不来，所以先写了一个暴力。

枚举每个\(k\)大值所在的节点，以它为根跑树上分组背包即可。

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[BZOJ4872][六省联考2017]分手是祝愿：莫比乌斯反演+DP

这里的异或可以看作是模\(2\)意义下的加法，然后直接莫比乌斯反演可以知道最少需要进行多少次操作。

令\(f[i]\)表示最少还需要进行\(i\)次操作时仍需进行操作次数的期望值，可以列出DP方程：

\[f[i]=\frac{i}{n}f[i-1]+\frac{n-i}{n}f[i+1]+1 \]

也就是：

\[n \times f[i]=i \times f[i-1]+(n-i) \times f[i+1]+n \]

这个东西没法直接做，但是我们可以稍微转化一下，令\(g[i]=f[i]-f[i-1]\)，\(g[i]\)是可以\(O(n)\)递推的，再用\(g[i]\)推出\(f[i]\)即可。

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[BZOJ4284]自古枪兵幸运E：生成函数

写出两种物品的生成函数，乘起来就是：

\[\begin{aligned} &(\frac{1}{1-x})^n(\frac{1}{1-x^2})^m\\ =&(\frac{1}{1-x^2})^{n+m}(1+x)^m\\ =&(1+x)^m(1+x^2+x^4+...)^{n+m} \end{aligned} \]

枚举左边\(x\)的次数，用隔板法算右边即可。

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[BZOJ5412]circle：拓扑排序+DP

竞赛图有一个性质，其拓扑序靠前的点一定能够到达拓扑序靠后的点，或者可以说它的拓扑序是成一条链的。

对\(k\)个点和\(n-k\)个点分别拓扑排序，对\(n-k\)个点中的每个点\(i\)，记\(l_i\)为\(k\)个点中直接连向\(i\)的编号最大的点的编号，\(r_i\)为\(k\)个点中\(i\)直接连向的编号最小的点的编号。如果\(l_i > r_i\)，那么显然必须删除点\(i\)，否则的话，对于\(i < j\)，\(i\)和\(j\)能同时不被删除的条件是\(l_i<r_{i+1}\)，DP即可。

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[BZOJ5244][FJWC2018]最大真因数：min_25筛

在min_25筛第一次处理中减去最小质因子为\(P_i\)的数的贡献那里统计答案即可。

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[BZOJ5254][FJWC2018]红绿灯：set

使用std::set维护所有询问的答案，从左往右扫所有的红绿灯，每次将所有要等红绿灯的询问暴力合并即可。

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[洛谷P3731][HAOI2017]新型城市化：匈牙利算法+Tarjan

可以发现补图中的一个独立集对应原图中的一个团，因为原图可以恰好被划分为两个团，所以补图一定是一张二分图。

我们要使补图的最大独立集变大，也就是要使补图的最大匹配减少，所以找出所有二分图最大匹配的必需边即可。

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[CodeChef]PUSHFLOW：Link-Cut Tree

可以发现如果流经过一个环，那么最多会分为两股流，且经过了环上容量最小的边的那股流的流量上界是确定的，所以我们可以把这条容量最小的边断开，给环上其他的边的容量加上这个最小的容量就好了，使用LCT动态地维护这个过程即可。

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[BZOJ1426]收集邮票：期望DP

令\(f[i]\)表示现在已经取出了\(i\)种邮票，到取完的期望次数，\(g[i]\)表示现在已经取出了\(i\)种邮票，代价从\(1\)开始计算，到取完的期望代价。

\(f[i]\)可以很容易地通过反着递推求出，求\(g[i]\)的话也是反着DP，要考虑花费多少代价取出第\(i+1\)种邮票，分析过程中要用到错位相减法。

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[BZOJ1283]序列：最小费用最大流

这种题的一个小套路就是可以转化为选\(k\)次，每次选出的任意两个数之间的距离不得小于\(m\)，然后跑拆点费用流就好了，注意如果有一次选出来的数之和为负就return;掉。

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[BZOJ2687]交与并：决策单调性优化DP

把被其他区间包含的区间删去（这时也需要统计答案），剩下的跑个决策单调性优化DP就好了，虽然还是不太会证明决策单调性。