CF1152F Neko Rules the Catniverse（状压 DP）

CF1152F Neko Rules the Catniverse

给定参数 \(n,k,m\)，你需要求有多少个大小为 \(k\) 的序列 \(a\) 满足如下三个条件：

1. 任意两个元素其权值不同。
2. 对于任意 \(i\) 满足 \(1\le i\le k\) 有 \(1\le a_i\le n\)。
3. 对于任意 \(i\) 满足 \(2\le i\le k\) 有 \(a_i\le a_{i-1}+m\)。

答案对 \(10^9+7\) 取模。

\(1\le n\le 10^9\)，\(1\le k\le \min(n,12)\)，\(1\le m\le 4\)。

一眼根本没有思路，即使知道是状压也不知道如何设状态。。

\(\bigstar\texttt{Hint}\)：按照位置信息的 DP 走不通，发现题目所给的是关于值域上的限制，考虑根据值域 DP。

状态怎么假设？由于有 \(n\) 总范围的限制，需要一个最大值 \(i\)。总共需要放置 \(k\) 个数，那么需要记录已经放置的数的个数。转移的时候，放入新的数 \(i\)，可以放在 \(\ge i-m\) 的数的后面或者最开头的位置，所以要记录 \(\ge i-m\) 的数有哪些已经出现过了。

这样就合理推出了 DP 状态：\(f_{i,j,s}\) 表示当前放置最大值为 \(i\)，已经在 \([1,i]\) 中选择了 \(j\) 个放在数列中，其中 \(\ge i-m\) 的数的选择情况为 \(s\)。

转移分为 \(i+1\) 选择或不选择两种情况：

• 选择 \(i+1\)：

  \[f_{i+1,j+1,(2\times s)\&All|1}\leftarrow f_{i,j,s}\times (\text{popcount}(s)+1) \]

• 不选择 \(i+1\)：

  \[f_{i+1,j,(2\times s)\&All}\leftarrow f_{i,j,s} \]

且上面的转移方程可以写成矩阵的形式，边长为 \(k\times 2^m\)，则总复杂度为 \(\mathcal{O(k^38^m\log n)}\)。

#define Maxsta 208
#define mod 1000000007
int n,K,m,lim,All,pr;
struct Matrix
{
	int f[Maxsta][Maxsta];
	Matrix(){ memset(f,0,sizeof(f)); }
	inline Matrix friend operator * (Matrix x,Matrix y)
	{
		Matrix ret;
		for(int i=0;i<lim;i++) for(int j=0;j<lim;j++) for(int k=0;k<lim;k++)
			ret.f[i][j]=(ret.f[i][j]+1ll*x.f[i][k]*y.f[k][j]%mod)%mod;
		return ret;
	}
	inline Matrix friend operator + (Matrix x,Matrix y)
	{
		Matrix ret;
		for(int j=0;j<lim;j++) for(int k=0;k<lim;k++)
			ret.f[0][j]=(ret.f[0][j]+1ll*x.f[0][k]*y.f[k][j]%mod)%mod;
		return ret;
	}
};
Matrix trans,ans;
int main()
{
	n=rd(),K=rd(),m=rd(),All=1<<m,lim=(K+1)*All;
	ans.f[0][0]=1;
	for(int j=0;j<=K;j++) for(int s=0;s<All;s++)
	{
		int cur=j*All+s,nex;
		if(j<K)
		{
			nex=(j+1)*All+(((s<<1)&(All-1))|1);
			trans.f[cur][nex]=__builtin_popcount(s)+1;
		}
		nex=j*All+((s<<1)&(All-1));
		trans.f[cur][nex]=1;
	}
	for(;n;n>>=1,trans=trans*trans) if(n&1) ans=ans+trans;
	for(int s=0;s<All;s++) pr=(pr+ans.f[0][K*All+s])%mod;
	printf("%d\n",pr);
	return 0;
}