任意长度循环卷积&单位根反演 学习笔记
今天听 \(\texttt{m}\color{red}{\texttt{yee}}\) 嘴的，赶紧来补个学习笔记。
PS：FFT 本质是长度为 \(2^n\) 的循环卷积。
单位根反演
反演本质：
\[\frac1n\sum_{i=0}^{n-1}\omega_{n}^{ai}=[n|a]
\]
证明：
- 如果 \(n|i\)，那么显然可以将 \(a\) 拆为若干个 \(\omega_n^n\)，之后式子只剩下了 \(n\) 个 \(\omega_{n}^{n}\)，那么乘上 \(\frac1n\) 就是 \(1\) 啦。
- 如果 \(n\not|a\)，容易发现 \(\omega_n^{i}\) 还是能够互相抵消，那么等于 \(0\)。
形式：
\[g_n=\sum_{i=0}^{n-1}f_{i}\omega_{k}^{in}\Leftrightarrow f_n=\frac1n\sum_{i=0}^{n-1}g_i\omega_k^{-in}
\]
循环卷积
定义 \(k\) 进制循环卷积为（就是 \(k\) 进制不进位加法）：
\[h_n=\sum_{i+j\equiv n\pmod{k}}f_i\times g_j
\]
可以写出二进制循环卷积（不就是异或吗）的转移矩阵：
\[fwt=\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}ifwt=\dfrac12\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}
\]
\(k\) 进制的转移矩阵是这样的：
\[fwt=\begin{bmatrix}\omega_k^0&\omega_k^0&\omega_k^0&\cdots&\omega_k^0\\\omega_k^0&\omega_k^1&\omega_k^2&\cdots&\omega_k^{k-1}\\\omega_k^0&\omega_k^2&\omega_k^4&\cdots&\omega_k^{2k-2}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\omega_k^0&\omega_k^{k-1}&\omega_k^{2k-2}&\cdots&\omega_k^{k^2-2k+1}\end{bmatrix}ifwt=\frac1n\begin{bmatrix}\omega_k^{-0}&\omega_k^{-0}&\omega_k^{-0}&\cdots&\omega_k^{-0}\\\omega_k^{-0}&\omega_k^{-1}&\omega_k^{-2}&\cdots&\omega_k^{-k+1}\\\omega_k^{-0}&\omega_k^{-2}&\omega_k^{-4}&\cdots&\omega_k^{-2k+2}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\omega_k^{-0}&\omega_k^{-k+1}&\omega_k^{-2k+2}&\cdots&\omega_k^{-k^2+2k-1}\end{bmatrix}
\]
这样可以 \(\mathcal{O(k^2)}\) 地完成 fwt 变换（但板题 任意模数 Chirp Z-Transform 需要用 FFT 优化加速），\(\mathcal{O(k)}\) 地点乘。
PS：如果需要将对应系数相加，可以在 fwt 后直接相加减，因为这是个线性变换。
咕咕咕
