后缀数组 SA

后缀数组（SA，suffix array），用于处理字符串子串形成的结构。

处理子串的结构主要方式有：后缀数组 SA，后缀自动机 SAM，后缀树 ST。

后缀树和后缀自动机暂时决定咕咕咕，以后学习可以参考ix35 的字符串复习。

含义与实现

后缀

我们定义长度为 $n$ 的字符串 $s$ 编号为 $l$ 的后缀为 $s$ 在 $[l,s]$ 上的字串，记 $l$（即起始位置）为该后缀的编号。

后缀数组

如果将 $s$ 所有 $n$ 个后缀提取出来，按照字典序升序排序，后缀数组 $\text{SA}_i$ 定义为排名为 $i$ 的后缀的编号。

那么怎么求出一个字符串的后缀数组呢？

求解

显然暴力找出 $n$ 个后缀再快速排序的 $\mathcal{O(n^2\log n)}$ 的（加上比较的复杂度），不够优美。

一般采用 Manber 和 Myers 发明的类似于倍增的方法求解。

（偷一张来自 jinkun113 - 后缀数组 巨佬的图）

如上图，类似每次将两端字符串拼起来形成新的字符串，类似高低进制拼接后再一次排序得到。

通过这样的操作，以 $i$ 为开头的字串会不断增长到两倍（大于 $n$ 的用空字符补齐），即不断溢出，最终就得到了 $n$ 个后缀。

类似这样的倍增求解的方法还可以用于其他的问题，如CF1654F Minimal String Xoration。

实现

在上面的过程中，记在 $i$ 位置上合并的两个数高位的是 $x_i$，低位的是 $y_i$，他们记录的是这一部分字串的排名，最终再一次排序后的排名记在 $x$ 数组内。

这样非常容易写出一个 $\mathcal{O(n\log^2 n)}$ 的解法，具体就是每次将两端字串合并后，给 $i$ 赋值为 $x_i,y_i$ 高低位相接。之后再一次排序并离散化就可以得到新的排名。

//暴力O(n\log^2 n)
int MAX;
int sa[Maxn],First[Maxn],Second[Maxn];
bool cmp(int x,int y)
{
	 if(First[x]==First[y]) return Second[x]<Second[y];
	 return First[x]<First[y];
}
inline void Get_Rank()
{
	 memset(First,0,sizeof(First)),MAX=n;
	 for(int i=1;i<=n;i++) sa[i]=i;
	 for(int i=1;i<=n;i++) First[i]=s[i],Second[i]=0;
	 sort(sa+1,sa+n+1,cmp);
	 for(int p=1;p<=n;p<<=1)
	 {
	 	 for(int i=1;i<=n;i++) Second[i]=First[i+p];
	 	 sort(sa+1,sa+n+1,cmp),swap(Second,First),MAX=First[sa[1]]=1;
	 	 for(int i=2;i<=n;i++)
	 	 	 if(Second[sa[i]]!=Second[sa[i-1]] || 
			   	 Second[sa[i]+p]!=Second[sa[i-1]+p])
			   	 First[sa[i]]=++MAX;
			 else First[sa[i]]=MAX;
		 if(MAX==n) return;
	 }
}

如果要进一步优化复杂度，可以用基数排序代替上面的快速排序，基数排序大致步骤如下：

• 首先按照上面的第一、第二关键字，我们取出每个位置的第二关键字并从小到大排序，记 $tmp_i$ 表示第二关键字第 $i$ 大的位置编号。
• 按照第二关键字从小到大的每个位置，依次将记录他们第一关键字出现次数的计数器加一。
• 从小到大对计数器前缀和，表示这个第一关键字中的元素后来的排名所在的区间。
• 按照第二关键字从大到小的每个位置，取出他们第一关键字对应的排名。

P3809 【模板】后缀排序

//O(n\log n)
inline void Sort()
{
	 for(int i=1;i<=MAX;i++) cnt[i]=0;
	 for(int i=1;i<=n;i++) cnt[Rank[tmp[i]]]++; // 或 cnt[Rank[i]]++ 等效
	 for(int i=1;i<=MAX;i++) cnt[i]+=cnt[i-1];
	 for(int i=n;i>=1;i--) sa[cnt[Rank[tmp[i]]]--]=tmp[i],tmp[i]=0;
}
inline void Get_SA()
{
	 for(int i=1;i<=n;i++) Rank[i]=s[i],tmp[i]=i;
	 MAX=255,Sort();
	 for(int p=1;p<=n;p<<=1)
	 {
	 	 int num=0;
	 	 for(int i=n-p+1;i<=n;i++) tmp[++num]=i; // 他们第二关键字为空，一定最靠前
	 	 for(int i=1;i<=n;i++) if(sa[i]>p) tmp[++num]=sa[i]-p; // 按上一次的排名从小到大枚举每个串，若可以成为第二关键字便加入
	 	 Sort(),swap(Rank,tmp),MAX=Rank[sa[1]]=1; // 注意一开始 Rank 是第一关键字，swap 后 tmp 才是第一关键字
	 	 for(int i=2;i<=n;i++)
	 	 	 if(tmp[sa[i]]!=tmp[sa[i-1]] || tmp[sa[i]+p]!=tmp[sa[i-1]+p])
	 	 	 	 Rank[sa[i]]=++MAX;
	 	 	 else Rank[sa[i]]=MAX;
	 	 if(MAX==n) return;
	 }
}

基础运用

说了这么多，后缀数组到底有什么用呢？

多模式匹配

回忆AC 自动机，它常用于多模式串匹配文本串的问题，复杂度为 $\mathcal{O(n)}$ 的，相较而言后缀数组就显得比较逊。

我们对文本串建立后缀数组，将所有后缀利用后缀数组按照字典序排序。

对于每一个模式串，在所有后缀中二分并 $\mathcal{O(n)}$ 检查，匹配一个的复杂度是 $\mathcal{O(m\log n)}$，$m$ 是模式串长度， $n$ 是文本穿长度。

最长公共前缀（LCP）

只有一个 $\text{SA}$ 数组能够完成的事情非常有限，所以通常需要用到两个辅助数组 $\text{Hight,Rank}$。

$\text{Rank}$ 表示后缀 $i$ 在所有后缀中的排名（即上面定义中使用的 $x$ 数组）。

$\text{Height}$ 表示 $\text{SA}_{i-1},\text{SA}_{i}$ 两个子串的 LCP（Longesr Common Prefix）长度。

$\text{Rank}$ 比较好求，那么 $\text{Height}$ 怎么求出呢？

有一个非常重要的结论：设 $h_i=\text{Height}(\text{SA}_i)$，一定有：（不会证明）

$$h_i\ge h_{i-1}-1$$

有了这个结论就可以快速求出每个 $\text{Height}$ 了。

两个后缀的 LCP 就是 $\min\{\text{Height}_k\}(k\in(i,j])$。

inline void Get_Height()
{
	 for(int i=1,j,tmp=0;i<=n;i++)
	 {
	 	 if(Rank[i]==1) { Height[Rank[i]]=0; continue; }
	 	 if(tmp) tmp--;
	 	 j=sa[Rank[i]-1];
	 	 while(i+tmp<=n && j+tmp<=n && s[i+tmp]==s[j+tmp]) tmp++;
	 	 Height[Rank[i]]=tmp;
	 }
}

例题

SP694 Distinct Substrings

给定一个长度为 $n(n\le 10^6)$ 的字符串，求出该字符串有多少个本质不同的子串。（虽然原题 $n$ 只有 $1000$）

$\text{Height}$ 数组的含义是排名为 $i$ 的后缀和排名第 $i-1$ 的后缀的 LCP 长度，我们发现这个长度正好是以 $\text{SA}_i$ 开头和以 $\text{SA}_{i-1}$ 开头的字串算重的数量。所以最终的式子就是：

$$\dfrac{n\times(n+1)}{2}-\sum_{i=2}^{n}\text{Height}_i$$

复杂度 $\mathcal{O(n\log n)}$。

P2852 [USACO06DEC]Milk Patterns G

给定字符集大小为 $10^6$ 且长度为 $n(n\le 2\times 10^4)$ 的字符串 $s$，给定循环次数 $k(k\le n)$，找出在字符串中至少循环 $k$ 次（可以由重叠）的字串的最大长度。

考虑求出字符串的 $\text{Height}$，那么答案就是所有长度为 $k$ 的 $\text{Height}$ 数组子区间中数的最小值中的最大值。

P3181 [HAOI2016]找相同字符

给定两个长度分别不大于 $2\times 10^5$ 的字符串，求出在两个字符串中各取出一个子串使得这两个子串相同的方案数。两个方案不同当且仅当这两个子串中有一个位置不同。

不会了

$\bigstar\texttt{Hint}$：考虑从一个串中取出两个子串使得他们相同的方案数，就是这个串所有后缀两两之间的 LCP 长度之和。

那么考虑将两个串拼在一起，当然中间需要加上一个奇怪的字符，计算方案数。

当然这样会算上来自同一个串的情况，所以需要将每个串单独计算后减去贡献。

那么上面的贡献如何计算？其实需要求的是 $\text{Height}$ 中所有子区间的区间最小值的和。

$\bigstar\texttt{Trick}$：要计算一个长度不超过 $10^5$ 的序列所有子区间的最小值的和，可以用单调栈解决。考虑从前往后加入每一个元素，显然如果有前面的元素大于这个元素，前面的元素的值以后都没用了。维护一个递增的单调栈，并记录这个元素中原本包含的元素个数，同时统计这个单调栈的权值之和，每次累计即可。

$\bigstar\texttt{Important}$：注意分隔符不要用 \0，可以用 $z+1$ 等等。

P4070 [SDOI2016]生成魔咒

原本有一个空串，有 $n$ 次操作，每次向串尾加入一个字符，字符集 $10^9$，同时询问本质不同字串数量。

$n\le 10^5$。

$\bigstar\texttt{Trick}$：倒置字符串！！！

如果我们每次向串首加入一个字符，只新产生了一个后缀，不用考虑对所有后缀的影响。

但是如果我们每次重新维护 $\text{Rank}$ 和 $\text{Height}$ 的话，还是会非常难做，所以用 $\text{Rank}$ 的相对大小维护下面的 $\text{Rank}$ 比它小、大的后缀。

先对倒置后的整个字符串求一遍 $\text{Rank}$ 和 $\text{Height}$，由于我们需要求的是包含新加入字符的子串中，重复出现的字串个数，可以直接和已经加入的后缀中 $\text{Rank}$ 离它最近的（用 set，除非你想打一个 Splay），并求出重复的长度。

SP1811 LCS - Longest Common Substring

给定两个长度不超过 $2.5\times 10^5$ 的字符串，求出他们的 LCS。两个字符串的 LCS 是他们的最长公共子串。

好像把两个串用奇怪的字符合起来，再记录每一个 $\text{Rank}$ 大于它的和它来自不同字符串的位置，求 LCP 长度即可。

P5341 [TJOI2019]甲苯先生和大中锋的字符串

给定长度不超过 $10^5$ 的字符串和重复次数 $k$，记 $cnt_i$ 表示长度 $s$ 所有长度为 $i$ 的子串中恰好在 $s$ 中出现 $k$ 次的子串数量。问 $cnt_i$ 最大的 $i$。

不会了

$\bigstar\texttt{Hint}$：考虑 $R=\min_{i=l}^{l+k-1}{\text{Height}_i}$ 什么时候不能作为答案，记 $L=\max(\text{Height}_{l-1},\text{Height}_{i+k})$，则一定有当 $1\le len\le L$ 时，长度为 $len$ 的子串出现次数大于 $k$ 次。则可以选择的去长度为 $(L,R]$。

注意一下 $k=1$ 的特判，其他用单调队列维护即可。

$\bigstar\texttt{Important}$：注意初始化的时候需要将 $\text{Height}_{n+1}$ 初始化为 $0$！！！

P2463 [SDOI2008] Sandy 的卡片

非常板，一眼差分，答案就是 $\text{Height}$ 数组中，包含所有 $n$ 个串的子区间中 $\text{Height}$ 最小值的最大值。

P4094 [HEOI2016/TJOI2016]字符串

咕咕咕