Prufer 序列

定义与建立

Prufer 序列可以将一个带标号 $n$ 个结点的树用 $[1,n]$ 中的 $n-2$ 个整数表示。一个无向带标号生成树与数列之间的双射。

对于一棵树，每次我们选择它编号最小的叶子结点，删除它并记录下与它相连的节点的编号，那么最终记录下的 $n-2$ 个数就组成了这棵树的 Prufer 序列。

显然用这个东西维护树的结构感觉非常不好，这个东西主要用来数数用的。

对树建立 Prufer 序列

按照定义直接建立，那么每次从堆中取出最小的数，删去它并记录。

这样可以得到一个 $\mathcal{O(n\log n)}$ 的做法，但是显然这不够优美，我们需要一个 $\mathcal{O(n)}$ 的解法。

我们发现剩余的叶子结点数量是递减的，每次删除要么少一个，要么少一个又多一个。

从小到大枚举编号 $p$，如果是叶子结点，将和它们相邻的点放入 Prufer 序列中。考虑这个叶子结点带来的新叶子结点：

• 如果和它相邻的点编号 $p'>p$ 或者 $p'$ 没有变成叶子结点，那么不用管，它会在之后被枚举到。
• 但是如果 $p'<p$，它在时候不会被枚举到了。但是发现删除之前当前最小的叶子结点是 $p$，所以删后 $p'$ 必然是最小的叶子，所以可以直接继续删除 $p'$。

for(int i=1,x;i<n;i++) x=rd(),add(i,x),add(x,i),ind[i]++,ind[x]++;
// [1,n-1] 的父亲序列 
for(int i=1;i<=n;i++) if(ind[i]==1) exist[i]=true;
for(int i=1,p;i<=n;i++)
{
	 if(!exist[i]) continue;
	 p=i;
	 while(p<=i)
	 {
	 	 used[p]=true;
	 	 for(int j=hea[p];j;j=nex[j])
	 	 	 if(!used[ver[j]]) { p=ver[j]; break; }
	 	 if(ind[p]==1) break;
	 	 ind[p]--,pru[++cnt]=p;
	 	 if(ind[p]==1) exist[p]=true;
	 	 if(ind[p]!=1 || p>i) break;
	 }
	 if(ind[p]==1) exist[p]=true;
}
assert(cnt==n-2);
for(int i=1;i<=cnt;i++) ret^=1ll*i*pru[i];
printf("%lld\n",ret);

用 Prufer 还原无根树

发现 Prufer 序列中的每个数的出现次数就是原树中每个点的度数 $-1$，可以每次连一个叶子结点重构。

方法类似，一个暴力的做法是每次选出最小的当前的叶子结点，将它与 Prufer 序列最前面的元素相连，这样复杂度是 $\mathcal{O(n\log n)}$ 的。

发现叶子结点编号递增，设删去的叶子结点为 $p$，和它相邻的是 $p'$。当加完 $p$ 后 $p'$ 的度数变为 $1$ 并且 $p'<p$，那么它下一次一定被选择，直接继续连边即可。

for(int i=1;i<=n-2;i++) pru[i]=rd(),ind[pru[i]]++;
for(int i=1;i<=n;i++) if(!ind[i]) exist[i]=true;
int pos=1;
for(int i=1,p;i<=n;i++)
{
	 if(!exist[i]) continue;
	 p=i;
	 while(p<=i)
	 {
	 	 if(pos==n-1) { fa[p]=n; break; }
	 	 fa[p]=pru[pos],p=pru[pos],ind[p]--,pos++;
	 	 if(pos>=n) break;
	 	 if(ind[p] || p>i) break;
	 }
	 if(!ind[p]) exist[p]=true;
}
for(int i=1;i<n;i++) ret^=1ll*i*fa[i];
printf("%lld\n",ret);

主要性质

• Prufer 序列与无根树一一对应（好像比较显然）

• 度数为 $d_i$ 的点在 Prufer 序列中出现 $d_i-1$ 次（上面还用到了这个结论）

• 【根据度数求方案】对于给定每个点度数为 $d_i$ 的无根树，方案数为：

  $$\dfrac{(n-2)!}{\prod_{i=1}^{n}(d_i-1)!}$$

  证明：Prufer 序列长度为 $n-2$，每个数出现次数为 $d_i-1$，根据组合意义直接计算全排列即可。

• 【根据连通块数量与大小求方案】一个 $n$ 个点 $m$ 条边的带标号无向图有 $k$ 个连通块，每个连通块大小为 $s_i$，需要增加 $k-1$ 条边使得整个图联通，方案数为：（但是当 $k=1$ 时需要特判）

  $$n^{k-2}\cdot\prod_{i=1}^{k}s_i$$

  证明见 OI-wiki