2022-02-11 13:48阅读: 304评论: 1推荐: 2

差分约束

（几万年前的博客了，刚从洛谷搬过来）

主要内容

差分约束系统 是一种特殊的 $n$ 元一次不等式组。

差分约束系统中的每个约束条件 $x_i-x_j\le c_k$ 都可以变形成 $x_i\le x_j+c_k$ 与 $x_j\ge x_i-c_k$ ，这与单源最短路中的三角形不等式非常相似。因此，我们可以把每个变量 $x_i$ 看做图中的一个结点，对于每个约束条件连边。

需要注意的是，有些题目看能会对解的上、下界进行约束，因此我们需要对这些条件处理（这里只考虑对于这 $n$ 个元素 只约束了上界 或 只约束了下界 ）：

只约束下界：有 $0$ 号点向每一个点连一条长为 $Lim_i$ 的边，表示第 $i$ 号元素的下界为 $Lim_i$ ，如图所示建边：

题意	转化	连边
$x_a-x_b\ge c$	$x_a\ge x_b+c$	`add(b,a,c)`
$x_a-x_b\le c$	$x_b\ge x_a-c$	`add(a,b,-c)`
$x_a=x_b$	$x_a\ge x_b$ ， $x_b\ge x_a$	`add(a,b,0),add(b,a,0)`

之后对整张图跑 最长路 。

只约束上界：有 $0$ 号点向每一个点连一条长为 $Lim_i$ 的边，表示第 $i$ 号元素的上界为 $Lim_i$ ，如图所示建边：

题意	转化	连边
$x_a-x_b\ge c$	$x_b\le x_a-c$	`add(a,b,-c)`
$x_a-x_b\le c$	$x_a\le x_b+c$	`add(b,a,c)`
$x_a=x_b$	$x_a\le x_b$ ， $x_b\le x_a$	`add(a,b,0),add(b,a,0)`

之后对整张图跑 最短路 。

设 $dist[0]=0$ ，若存在负环 $/$ 正环，则不等式无解，否则 $x_i=dist[i]$ 是该差分约束系统的一组解。

最坏情况下（存在负环 $/$ 正环）复杂度为 $O(nm)$ 。

注意：整个图不一定是联通的！

Tricks

如果良心出题人给你了加法形式的约束，可以考虑黑白染色。

例题

P1993 小 K 的农场 - 模板

P2474 [SCOI2008]天平

solution

$\texttt{solution}$

用 $mi[i][j]$ 和 $mx[i][j]$ 表示 $i$ 和 $j$ 号砝码的质量差的最大值 $/$ 最小值这道题由于数据范围小，可以用 $\operatorname{Floyd}$ 算法跑最短路 $/$ 最长路。判断天平平衡情况可以如下讨论：

$a+b>i+j$ ，天平左倾，满足 $a-i>j-b$ ：

$min[a][i]>max[j][b]$
$a+b=i+j$ ，天平平衡，满足 $a-i=j-b$ ：

$min[a][i]=max[a][i]~\&~min[j][b]=max[j][b]~\&~min[a][i]=min[j][b]$
$a+b<i+j$ ，天平右倾，满足 $a-i<j-b$ ：

$max[a][i]<min[j][b]$

核心代码：

n=rd(),a=rd(),b=rd();
for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++)
{
	 cin>>c;
	 if(c=='+') mi[i][j]=1,mx[i][j]=2;
	 else if(c=='-') mi[i][j]=-2,mx[i][j]=-1;
	 else if(c=='=' || i==j) mi[i][j]=mx[i][j]=0;
	 else mi[i][j]=-2,mx[i][j]=2;
}
for(int k=1;k<=n;k++) for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) if(i!=k && j!=k && i!=j)
 	 mi[i][j]=max(mi[i][j],mi[i][k]+mi[k][j]),mx[i][j]=min(mx[i][j],mx[i][k]+mx[k][j]);
for(int i=1;i<=n;i++) if(i!=a && i!=b)
	 for(int j=1;j<i;j++) if(j!=a && j!=b)
	 {
	 	 if(mi[a][j]>mx[i][b] || mi[a][i]>mx[j][b]) c1++;
	 	 if((mi[a][i]==mi[j][b] && mi[a][i]==mx[a][i] && mi[j][b]==mx[j][b]) || (mi[a][j]==mi[i][b] && mi[a][j]==mx[a][j] && mi[i][b]==mx[i][b])) c2++;
	 	 if(mx[a][j]<mi[i][b] || mx[a][i]<mi[j][b]) c3++;
	 }
printf("%d %d %d\n",c1,c2,c3);

P4926 [1007]倍杀测量者

solution

$\texttt{solution}$

给出一系列不等式：

$x_{a_i}\ge (k_i-t)\times x_{b_i}~~~\&~~~(k_i+t)\times x_{a_i}>x_{b_i}$
以及一些 $x_i$ 的值。

求出最大的 $t$ 使得不等式无解。

1. 连边

首先对不等式进行拆分化简：

x_{a_{i}} \geq (k_{i} - t) \times x_{b_{i}}

$x_{a_i}\ge (k_i-t)\times x_{b_i}$

\log_{2} (x_{a_{i}}) \geq \log_{2} (x_{b_{i}}) + \log_{2} (k_{i} - t)

$\log_2{(x_{a_i})}\ge \log_2{(x_{b_i})}+\log_2{(k_i-t)}$

连边 add(b,a,log2(k-t))

(k_{i} + t) \times x_{a_{i}} > x_{b_{i}}

$(k_i+t)\times x_{a_i}>x_{b_i}$

\log_{2} (x_{a_{i}}) + \log_{2} (k_{i} + t) > \log_{2} (x_{b_{i}})

$\log_2{(x_{a_i})}+\log_2{(k_i+t)}>\log_2{(x_{b_i})}$

\log_{2} (x_{a_{i}}) > \log_{2} (x_{b_{i}}) - \log_{2} (k_{i} + t)

$\log_2{(x_{a_i})}>\log_2{(x_{b_i})}-\log_2{(k_i+t)}$

由于本题有精度 $10^{-5}$ 的容量范围，所以我们可以连边 add(b,a,-log2(k+t))

（具体实现连边操作时只用记录 $k$ 的值， $t$ 根据边的种类在差分的时候分类讨论。）

2. 判断无解

输出 -1 仅当 $t=0$ 时不等式仍旧有解。

3. 二分答案

二分一个 $t$ ，判断这个时候不等式是否有解。输出答案。

上AC代码（去掉了不必要的部分）：

#define inf 0x7f7f7f7f
#define Maxn 5005
int n,s,t,tot;
int cnt[Maxn],hea[Maxn],nex[Maxn*2],ver[Maxn*2],typ[Maxn*2];
double ds[Maxn],edg[Maxn*2];
bool inq[Maxn];

inline void add(int x,int y,double d,int Type)
{
	 ver[++tot]=y,edg[tot]=d,typ[tot]=Type,nex[tot]=hea[x],hea[x]=tot;
}

bool spfa(double tmp) // tmp 这里表示上面说的 t 的值
{
	 for(int i=0;i<=n;i++) ds[i]=-inf,cnt[i]=0,inq[i]=false; ds[n+1]=0;
	 queue<int> q; q.push(n+1),inq[n+1]=true;
	 while(!q.empty())
	 {
	 	 int cur=q.front(); q.pop(),inq[cur]=false;
	 	 for(int i=hea[cur];i;i=nex[i])
	 	 {
	 	 	 double w=edg[i]; // 类型为 3 的边 
	 	 	 if(typ[i]==1) w=log2(edg[i]-tmp); // 类型为 1 的边 
	 	 	 if(typ[i]==2) w=-log2(edg[i]+tmp); // 类型为 2 的边 
	 	 	 if(ds[ver[i]]<ds[cur]+w)
	 	 	 {
	 	 	 	 ds[ver[i]]=ds[cur]+w,cnt[ver[i]]=cnt[cur]+1;
	 	 	 	 if(cnt[ver[i]]>=n+2) return true; // 判断无解 
	 	 	 	 else if(!inq[ver[i]]) inq[ver[i]]=true,q.push(ver[i]);
			 }
		 }
	 }
	 return false; // 此时有解 
}

double x,l=0,r=10,ans,mid;
scanf("%d%d%d",&n,&s,&t);
for(int i=0;i<=n;i++) add(n+1,i,0,3);
for(int i=1,opt,a,b;i<=s;i++)
{
	 scanf("%d%d%d%lf",&opt,&a,&b,&x),add(b,a,x,opt);
	 if(opt==1) r=fmin(r,x);
}
for(int i=1,c;i<=t;i++) scanf("%d%lf",&c,&x),add(0,c,log2(x),3),add(c,0,-log2(x),3);
if(!spfa(0)) printf("-1\n");
else
{
	 while(r-l>cha) // cha 是 0.00001 保证精度 
	 {
	 	 mid=(l+r)/2.0;
	 	 if(spfa(mid)) ans=mid,l=mid+cha;
	 	 else r=mid-cha;
	 }
	 printf("%.6lf\n",ans);
}