【做题记录】[SCOI2009]围豆豆（动态规划+计算几何思想）

[SCOI2009]围豆豆

$n\times m(n,m\le 10)$ 的网格中有 $d$ 个球 $(d\le 9)$，要求在网格中选定一个起点开始做一个欧拉回路，路径的价值为路径完全包住的球的价值之和减去路径长度，求所有路径中的价值最大值。

有价值与步数的两个限制，首先想着把其中一个作为状态控制变量。

由于起点关系回程，所以 $\bigstar\texttt{important}$：枚举起点寻找答案。

控制了起点和状态，容易想到设 $dp(i,j,state)$ 表示从起点到坐标为 $(i,j)$ 的点，且这半条路径包含的点的集合为 $state$ 时的最小步数。

$\uparrow$ 因为路径是一个多边形，用计算几何的方法判断每个点是否在多边形内部，即从这个点向左侧做射线，进过边的数量为奇数时在内部。（由于这是网格，所以特殊情况时，如果这条线断平行则不计算，不平行则计算）。

之后用上边的 $dp$ 直接暴力 bfs 即可。

$\texttt{code}$

#define Maxn 15
#define Maxsta 1005
int n,m,d,ans;
int v[Maxn],ax[Maxn],ay[Maxn],ds[Maxn][Maxn][Maxsta];
int zou[4][2]={{1,0},{-1,0},{0,1},{0,-1}};
char mp[Maxn][Maxn];
struct Dot { int x,y,State,ds; };
inline int calc(int sx,int sy,int tx,int ret)
{
	 for(int i=1;i<=d;i++)
	 {
	 	 if((sx==ax[i] && tx<ax[i] && sy<ay[i]) || 
		  	(sx<ax[i] && tx==ax[i] && sy<ay[i]))
			 ret^=1<<(i-1);
	 }
	 return ret;
}
inline int Count(int State)
{
	 int ret=0;
	 for(int i=1;i<=d;i++) if(State & (1<<(i-1))) ret+=v[i];
	 return ret;
}
void bfs(int sx,int sy)
{
	 memset(ds,0x3f,sizeof(ds)),ds[sx][sy][0]=0;
	 queue<Dot> q; q.push((Dot){sx,sy,0,0});
	 while(!q.empty())
	 {
	 	 Dot cur=q.front(); q.pop();
	 	 for(int i=0,nx,ny,ns;i<4;i++)
	 	 {
	 	 	 nx=cur.x+zou[i][0],ny=cur.y+zou[i][1];
	 	 	 if(nx<1 || nx>n || ny<1 || ny>m || mp[nx][ny]!='0')
	 	 	 	 continue;
	 	 	 ns=calc(cur.x,cur.y,nx,cur.State);
	 	 	 if(ds[nx][ny][ns]!=inf) continue;
	 	 	 ds[nx][ny][ns]=cur.ds+1;
	 	 	 q.push((Dot){nx,ny,ns,ds[nx][ny][ns]});
		 }
	 }
}
int main()
{
	 n=rd(),m=rd(),d=rd();
	 for(int i=1;i<=d;i++) v[i]=rd();
	 for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",mp[i]+1);
	 for(int i=1,num;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++)
	 	 if(isdigit(mp[i][j]))
	 	 	 num=mp[i][j]-48,ax[num]=i,ay[num]=j;
	 for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++)
 	 {
 	 	 bfs(i,j);
 	 	 for(int k=(1<<d)-1;k>=0;k--)
 	 	 	 ans=max(ans,Count(k)-ds[i][j][k]);
	 }
	 printf("%d\n",ans);
	 return 0;
}