学习笔记—反悔贪心

djy 的《浅谈反悔贪心》，这里做的题都来自反悔贪心题单。

$\texttt{update on 2022.7.29}$：以前写的太乱了，重构了文章。

反悔贪心

反悔贪心类似 DP，每天我们都可以进行一定操作使得当天我们的收益达到最大值，但是这样的操作可能会使得后面几天达不到最优，这就迫使我们放弃前面的决策。

我们将放弃前面的决策称为反悔，做出新的决策称为贪心，我们需要做的就是在所有决策中选择最优的那个。

例题

CF865D Buy Low Sell High

已知接下来 $n$ 天的股票价格，每天你可以买进一股股票，卖出一股股票，或者什么也不做。$n$ 天之后你拥有的股票应为 $0$，当然，希望这 $n$ 天内能够赚足够多的钱。

考虑一次股票交易的过程，一天内买入一次再卖出一次等同于什么也没发生，于是我们考虑一个贪心，每次让之前最小的那个和当前这个配对。

但是这样是错误的，可能将一个较小的日子留给后面的更优，所以我们需要反悔的操作，让后面的将这一天的决策抵消掉。

设第 $i$ 天的交易价格为 $c_i$，则在 $i,k$ 之间的 一次交易收益就是 $c_k-c_i$。

如果我们已经在 $j$ 时将 $i$ 与 $j$ 匹配了，我们已经得到了 $c_j-c_i$ 的贡献，现在我们需要将另外的贡献补上：$c_k-c_i=(c_k-c_j)+(c_j-c_i)$。

这样我们只用在这一天交易结束后将这天的卖出价格加入堆中即可。

P2107 小Z的AK计划 & P4053 [JSOI2007]建筑抢修

在一条数轴上有 $n$ 个点，初始在 $0$ 位置。每向正方向走一步都消耗 $1$ 单位的时间，每到达一个点可以花费 $t_i$ 的时间 获得 $1$ 的收益，也可以直接路过。

在 $m$ 的时间内，最大收益是多少？

$n\le 10^5,0\le m,x_i\le 10^{18},0\le t_i\le 10^9$。

从前往后枚举我们走到哪里，将新的点加入决策。

什么时候需要反悔？当已经消耗了 $>m$ 的时间。选择消耗时间最大的删去即可。

P3620 [APIO/CTSC 2007] 数据备份

一个环（链）上有 $n$ 个元素，要求选取的任意两个元素互不相邻，求选出 $k,k\in\left[1,\dfrac{n+1}{2}\right]$ 个元素分别可以获得的最大价值是多少。

每次都要新选择一个点，我们有两种操作：

• 加入一个独立的点。
• 将与一些点相邻的点同时取反。

只用一个链表，加入一个点后将 $p+s-v$ 替换为这个点的权值即可，用堆每次选择最大值即可。

CF730I Olympiad in Programming and Sports

有 $n(n\le 10^5)$ 个人，第 $i$ 个人有属性 $a_i,b_i$，要求选出 $A$ 集合至多 $p$ 人，$B$ 集合至多 $s$ 人，使得选出的人相应属性值之和最大。

先选出 $a_i$ 最大的 $p$ 个加入 $A$ 集合，之后一个一个加上 $B$ 集合，我们每次有以下两种操作：

• 直接加入一个 $B$。
• 将一个人由 $A$ 转为 $B$，再选择一个 $A$。

用三个堆对上面信息分别维护即可！

$\texttt{update}$：网络流做法：

• 源点 $s$ 到每个点建一条流量为 $1$，费用为 $0$ 的边（每个人只能只能参加一种比赛）。
• 建三个汇点，汇点 $t1$ 控制参加编程的，汇点 $t2$ 控制参加体育的，汇点 $t$ 控制参加 $t1$ 和 $t2$ 的总人数。
• 每个人两种实力分别向 $t1$，$t2$ 建流量为 $1$，费用为负实力。

然后就跑最小费用最大流啦！

AT2672 [AGC018C] Coins

有 $n(n\le 10^5)$ 个人，第 $i$ 个人有属性 $a_i,b_i,c_i$，要求选出 $A,B,C$ 集合分别 $p,q,s$ 个人，保证 $p+q+s=n$，使得选出的人相应属性值之和最大。

一种比较显然的想法是将将 $B_i$ 赋为 $B_i-A_i$，$C_i$ 赋为 $C_i-A_i$，就转化为了上一个问题。

$\texttt{update}$：有一种可以推广到 $4,5,\dots$ 中限制的做法：

发现每次操作我们只有以下几种方案：

• $x\rightarrow y,y\rightarrow z,z\rightarrow x$
• $z\rightarrow y,y\rightarrow x,x\rightarrow z$
• $x\rightarrow y,y\rightarrow x$
• $x\rightarrow z,z\rightarrow x$
• $y\rightarrow z,z\rightarrow y$

用六个堆维护即可。

CF802O April Fools' Problem medium & hard

每天可以花费 $a_i$ 准备一题，花费 $b_i$ 打印一题，每天最多准备一题打印一题，求打印 $k$ 题的最小花费。

如果没有 $k$ 的限制，那可以将准备看作买入一只股票，打印看作反向卖出一只股票，转化为第一题的套路。

考虑如何限制 $k$ 只股票。如果我们将每次买卖的收益同时增加一个 $d$，买卖的优劣性相对不变，但我们会在原来的基础上多进行一些交易。那么我们二分这个 $d$ 直到正好购买 $k$ 次股票即可。

CF436E Cardboard Box

$n$ 个关卡，对每个关卡，你可以花 $a_i$ 代价得到一颗星，也可以花 $b_i$ 代价得到两颗星，也可以不玩。问获得 $w$ 颗星最少需要多少时间。

我们进行 $w$ 次操作，使我们多选择一棵星星，有以下几种方法：

• 直接选择一颗星星；
• 将一颗星星变为两颗；
• 将一颗星星由一颗反悔为不选择，再选择两颗；
• 将两颗星星反悔为一颗，再选择两颗。

那么我们需要维护 $a_i(\min\&\max),b_i(\min),b_i-a_i(\min\&\max)$ 五个堆。

P5470 [NOI2019] 序列

给定长度为 $n$ 的数组 $\{a\},\{b\}$，要求在他们中分别取恰好 $k$ 个值，且相同下标且 $a,b$ 中都选取的对数 $\ge l$，求最大选择价值之和。

$n\le 2\times 10^5$。

先在两个数组中选择最大的 $k$ 个，如果相同位置的不到 $l$，考虑依次增加。想要增加一个相同位置，有以下四种方案：

• 将一个单独选择的 $a$ 变成一个已经选择 $b$ 但没有选择 $a$ 的；
• 将一个单独选择的 $b$ 变成一个已经选择 $a$ 但没有选择 $b$ 的；
• 将一个单独选择的 $a$ 和一个单独选择的 $b$ 都删去，变成一个没有选择的 $ab$ 对；
• 将一个已经选择的 $ab$ 拆掉，和一个单独选择的 $a$、单独选择的 $b$ 分别合并变成两个 $ab$ 对。

用 $6$ 个堆分别维护上面的选择情况，取最大值转移即可。

（乱入）贪心杂题

P2512 [HAOI2008]糖果传递

有 $n$ 个小朋友坐成一圈，每人有 $a_i$ 个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为 $1$。问最后所有人糖果数量均衡后的最小代价。

$n\le 10^6$

如果题目只是在链上，就变成了均分纸牌的问题，假设每个人现有纸牌数为 $a_i$，平均为 $ave$，$a_i-ave$ 前缀和为 $pre_i$，则答案为 $\sum{|pre_i|}$。

回到这道题上，发现最优解一定存在环上两个人之间不存在糖果传递，可以想到断环成链。

如果断掉环上第 $k$ 条边，则贡献依次为 $|pre_1-pre_k|,|pre_2-pre_k|\dots$。

这就是“仓库选址”问题啦！直接将 $k$ 定位所有 $pre$ 的中位数，求出答案即可。

P8272 [USACO22OPEN] Apple Catching G

假设在 $a(a_x,a_t)$ 点有奶牛，在 $b(b_x,b_t)$ 有苹果 $(a_t\le b_t)$，$a$ 可以借助 $b$ 的充要条件为：

$$a_x-(b_t-a_t)\le b_x\le a_x+(b_t-a_t)\\ \Downarrow\\ \begin{cases} a_x+a_t\le b_x+b_t\\ a_x-a_t\ge b_x-b_t \end{cases}$$

第二个式子直接 $x-t$ 从小到大的顺序搞定（注意如果值相同 $t$ 大的优先），这样只要每个数匹配在它之前的点就都是合法的，接下来只用满足第一个式子。

考虑两头奶牛 $a_1,a_2(a_x-a_t<b_x-b_t)$ 一起匹配苹果，我们会让 $a_1$ 优先匹配苹果中 $b_x+b_t$ 最小的，把剩下的留给 $a_2$。

为什么这样是对的呢？

显然 $b_x+b_t$ 越小越难被匹配，那么如果可以被匹配，直接匹配一定最优。

而且如果 $a_1$ 与 $a_2$ 都能够匹配同一个 $b$，让他们任何一个去匹配是相同的。

那么就这样被简单地证明了。

实际操作中可以用 multiset 来支持查询比 $a_x+a_t$ 大的数即可。

P2672 [NOIP2015 普及组] 推销员

发现答案只可能是一下两种情况：

• 选择最大的 $x$ 个推销疲劳值。

• 选择最大的 $x-1$ 个推销疲劳值，并选择一个距离较远的。

至于为什么只选择 $x-1$ 个而不是 $x-2$ 或更少:

加入我们要将第 $x-1$ 大的换为更远的，完全可以用第 $x$ 大的而不是 $x-1$ ，显然这样减小的更少呀。

商店zr

有一个商店，每个天会进货固定 $m$ 中物品分别 $b_i$ 个，每个单价为 $a_i$，若 $b_i=-1$ 表示有无限个。

在接下来的 $n$ 天内，每天顾客会来购买最便宜的 $c_i$ 个物品，问最终商店收益为多少。

$n,m\le 2\times 10^5,1\le a_i,c_i\le 10^6,-1\le b_i\le 10^6$，保证存在至少一个 $b_i=-1$。

考虑这本质是一个贪心过程，每个月丢给你一堆物品，一定先选择小的并有库存的，没了再选择大的。

这样我们的讨论就不能够脱离贪心的特点，固定了向优化贪心的方向走。

$\bigstar\texttt{Trick}$：单位价值下降的天一定放在一起考虑！！！最后剩下单位价值单调不增的一些连通块，将他们合在一起考虑。