笛卡尔树

笛卡尔树

优美的性质

对于一个序列建立的笛卡尔树满足：

• 它是个二叉树。
• 下标的中序遍历为 \(1\) 到 \(n\) 的序列。
• 权值满足小根堆性质。
• 若权值互不相同，那么这个序列的笛卡尔树唯一（当然，若权值相同，就会有很多棵树，于是就有笛卡尔树计数啦）。

它具有这么多优秀的性质，当然可以干很多事情啦。

（以上图片来自维基百科）

建立

维护一个栈维护从队列第一个元素到现在的递增子序列（存的当然是下标），接下来分类讨论：

• 若新增元素大于等于栈顶，那么直接进栈并与接到此时栈顶右儿子。

• 否则一直弹栈直到小于栈顶，将最后弹出的元素连到当前元素的左儿子，之后进站并连边栈顶。

sta[rt=tp=1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
	 if(a[i]>=a[sta[tp]]) ch[sta[tp]][1]=i,sta[++tp]=i;
	 else
	 {
	 	 while(a[i]<a[sta[tp]]) tp--;
	 	 if(!tp) rt=i;
	 	 ch[i][0]=sta[tp+1];
	 	 ch[sta[tp]][1]=i;
	 	 sta[++tp]=i;
	 }
}

笛卡尔树计数

笛卡尔树满足根节点的的权值小于等于儿子节点的权值。

那么对于给定的一个数列，这个序列中所有的最小值一定都直接连接在根节点上。

设有 \(m\) 个最小值，则这些节点可以组成的二叉树个数……

就是卡特兰数的第 \(m\) 项啦！

如上图，将最小值提取出后，可以将原序列分成若干段，分别求解最小值即可。

$\texttt{code}$

#define Maxn 1000005
#define Maxpown 21
#define mod 1000000007
typedef long long ll;
inline int rd()
{
	 int x=0;
     char ch,t=0;
     while(!isdigit(ch = getchar())) t|=ch=='-';
     while(isdigit(ch)) x=x*10+(ch^48),ch=getchar();
     return x=t?-x:x;
}
int n;
int st[Maxn][Maxpown],pos[Maxn][Maxpown];
int pow2[Maxpown],lg[Maxn];
ll Cart[Maxn],inv[Maxn<<1],mi[Maxn<<1],invmi[Maxn<<1];
inline ll C(int x,int y) { return mi[x]*invmi[x-y]%mod*invmi[y]%mod; }
inline ll ksm(ll x,ll y)
{
	 ll ret=1;
	 while(y)
	 {
	 	 if(y&1) ret=ret*x%mod;
	 	 x=x*x%mod,y>>=1;
	 }
	 return ret;
}
inline int query_pos(int l,int r)
{
	 int p=lg[r-l+1]-1;
	 if(st[l][p]<=st[r-pow2[p]+1][p]) return pos[l][p];
	 return pos[r-pow2[p]+1][p];
}
inline int query_min(int l,int r)
{
	 int p=lg[r-l+1]-1;
	 return min(st[l][p],st[r-pow2[p]+1][p]);
}
ll Find(int l,int r)
{
	 if(l>r) return 1;
	 ll ret=1;
	 int Last=l,fir,cnt=0,Least=query_min(l,r),Now;
	 while(Last<=r)
	 {
	 	 Now=query_min(Last,r);
	 	 if(Now>Least) { ret=ret*Find(Last,r); break; }
	 	 fir=query_pos(Last,r);
	 	 ret=ret*Find(Last,fir-1)%mod;
	 	 Last=fir+1,cnt++;
	 }
	 ret=ret*Cart[cnt]%mod;
	 return ret;
}
int main()
{
	 n=rd(),pow2[0]=1;
	 for(int i=1;i<=n;i++) st[i][0]=rd(),pos[i][0]=i;
	 inv[0]=mi[0]=invmi[0]=inv[1]=mi[1]=invmi[1]=1;
	 for(ll i=2;i<=n+n;i++)
	 {
	 	 mi[i]=mi[i-1]*i%mod;
	 	 inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	 	 invmi[i]=invmi[i-1]*inv[i]%mod;
	 }
	 for(int i=1;i<=n;i++) lg[i]=lg[i>>1]+1;
	 for(ll i=1;i<=n;i++) Cart[i]=C(i+i,i)*ksm(i+1,mod-2)%mod;
	 for(int i=1;i<=20;i++) pow2[i]=pow2[i-1]*2;
	 for(int i=1;i<=20;i++)
	 	 for(int j=1;j<=n-pow2[i]+1;j++)
	 	 {
	 	 	 if(st[j][i-1]<=st[j+pow2[i-1]][i-1])
	 	 	 	 pos[j][i]=pos[j][i-1];
	 	 	 else pos[j][i]=pos[j+pow2[i-1]][i-1];
	 	 	 st[j][i]=min(st[j][i-1],st[j+pow2[i-1]][i-1]);
		 }
	 printf("%lld\n",Find(1,n));
     return 0;
}

直方图最大子矩形

这道题可以用单调栈，也可以用笛卡尔树！

一个笛卡尔树上的点 \(x\) 以及其子树表示大于等于 \(val(x)\) 的整个区间。

所以 \(ans=\max\{val(x)\times siz(x)\}\)。

$\texttt{code}$

#define Maxn 100005
int n,tp,rt;
ll ans;
int a[Maxn],siz[Maxn],sta[Maxn];
int ch[Maxn][2];
inline void build()
{
	 sta[rt=tp=1]=1,ans=0;
	 for(int i=2;i<=n;i++)
	 {
	 	 if(a[i]>=a[sta[tp]]) ch[sta[tp]][1]=i,sta[++tp]=i;
	 	 else
	 	 {
	 	 	 while(a[i]<a[sta[tp]]) tp--;
	 	 	 if(!tp) rt=i;
	 	 	 ch[i][0]=sta[tp+1];
	 	 	 ch[sta[tp]][1]=i;
	 	 	 sta[++tp]=i;
		 }
	 }
}
void dfs(int x)
{
	 siz[x]=1;
	 for(int i=0;i<2;i++) if(ch[x][i])
	 	 dfs(ch[x][i]),siz[x]+=siz[ch[x][i]];
	 ans=maxll(ans,1ll*a[x]*siz[x]);
}
int main()
{
	 while((n=rd())!=0)
	 {
	 	 for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=rd(),ch[i][0]=ch[i][1]=0;
	 	 build(),dfs(rt);
	 	 printf("%lld\n",ans);
	 }
	 return 0;
}