【做题记录】构造题
CF468C Hack it!
题意：
令 \(F(x)\) 表示 \(x\) 的各个位上的数字之和，如 \(F(1234)=1+2+3+4=10\) 。
给定 \(a(a\le 10^{18})\) ，请求出任意一组 \(l,r(l,r\le 10^{200})\) ，要求满足：
输出 \(l,r\) 。
$\texttt{solution}$
注意到，若 \(F(x)=p\) ，那么 \(F(x+10^{18})=F(x)+1=p+1\) 。
那么可以发现，若 \(\sum_{i=0}^{10^{18}-1}F(i)=p\) ，那么有：
因此发现 \(l=a-p,r=a-p+10^{18}-1\) 时恰好能够成立。
因此考虑求出 \(p\) 。
之后带入式子就可以啦！
typedef unsigned long long ll;
ll a,l,r,p,inf=1e18;
int main()
{
a=rd(),p=inf%a*9llu%a*9llu%a;
printf("%llu %llu\n",a-p,a-p+inf-1llu);
return 0;
}
CF1491F Magnets
交互、二分。
早苗有 \(n\) 块磁石，编号为 \(1,2,\cdots,n\)。每块磁石的磁极可能是正极，负极，也可能没有磁性。她希望你能帮她找出所有没有磁性的磁石。
万幸的是，你有一台磁力检测仪。你每次可以将每个磁石放在这台机器的左托盘，右托盘或者不放。
机器将会返回此时的磁力强度。设托盘左边有 \(n_1\) 个磁石为正极，\(s_1\) 个磁石为负极，托盘右边中有 \(n_2\) 磁石为正极，\(s_2\) 个磁石为负极，则返回的磁力强度为 \(n_1n_2+s_1s_2-n_1s_2-n_2s_1\)。
如果一次测试中磁力强度的绝对值大于 \(n\)，这台机器就会坏掉。
你需要在 \(n+\lfloor\log_2n\rfloor\) 次测试内找到所有没有磁性的磁石的编号，同时不能弄坏机器。
保证存在至少 \(2\) 块磁石有磁性且至少 \(1\) 块磁石没有磁性。
$\texttt{solution}$
先化简式子发现交互的返回值就是 \((n_1-s_1)(n_2-s_2)\)。
由于正负极石头放在一起会导致 \(n,s\) 会都大于 \(0\) ，使问题变得更为困难。
那么考虑每次查询只对一块石头与其他一堆石头之间进行询问。
那么如果我们已经知道了一块有磁性的此时，就可以非常容易的知道其他所有的此时是否有磁性。
之后考虑如何才能找出有磁性的石头，直接枚举肯定是不行的，最坏都会到 \(O(n^2)\) 。
我们可以从 \(1\) 向 \(n\) 开始枚举 \(i\)，询问 \([1,i-1]\) 与 \(i\)。若询问结果不为 \(0\)，则 \([1,i-1]\) 中必然有一块有磁性的石头，而 \(i\) 也一定是有磁性的。因此可以找出一块有磁性的石头。
之后我们是否可以 \(O(n)\) 检查所有石头了呢？还是不行。。。
考虑到答案不能超过 \(n+\log n\)，所以我们只能将上面第二块石头之后，也就是 \([i+1,n]\) 中的石头判断一遍。这样到现在为止总共用了 \(n-1\) 次操作。
而 \([1,i-1]\) 中只有 \(1\) 快有磁性的石头，所以我们可以二分出这块石头的位置，找出这最后一块有磁性的石头。那么我们就做完啦。
int T,n,Last,pos,cnt;
int ans[Maxn];
inline int query(int nl,int nr,int k)
{
printf("? %d %d\n",nr-nl+1,1);
for(int i=nl;i<=nr;i++) printf("%d%c",i,(i==nr)?'\n':' ');
printf("%d\n",k);
fflush(stdout);
return rd();
}
inline void print()
{
printf("! %d ",cnt);
for(int i=1;i<=cnt;i++) printf("%d%c",ans[i],(i==cnt)?'\n':' ');
fflush(stdout);
}
int main()
{
T=rd();
while(T--)
{
n=rd(),pos=-1,cnt=0;
for(int i=2;i<=n && pos==-1;i++)
if(query(1,i-1,i)) pos=i;
for(int i=pos+1;i<=n;i++) if(!query(i,i,pos)) ans[++cnt]=i;
int nl=1,nr=pos-1;
while(nl<=nr)
{
int mid=(nl+nr)>>1;
if(query(1,mid,pos)) Last=mid,nr=mid-1;
else nl=mid+1;
}
for(int i=1;i<pos;i++) if(i!=Last) ans[++cnt]=i;
print();
}
return 0;
}
CF1586F Defender of Childhood Dreams
给定一张竞赛图（点数 \(\le 1000\)），对于所有 \(a<b\)，都有一条由 \(a\) 到 \(b\) 的有向边，并且每一条边都有一个颜色。现在要求所有长度大于等于 \(k\) 的路径上都有 \(\ge 2\) 中颜色。求出整张图中出现最少出现颜色的数量与边的染色方案。
$\texttt{solution}$
考虑将序列分为许多长度不超过 \(k\) 个块，在块与块间连接相同颜色的边。这样可以保证在块与块间转移的边不会形成 \(\ge k\) 长度的路径。
在每一个块内部再进行同样的拆分（但在块内的颜色要与块外的颜色不同），递归进行即可。
#define Maxn 1005
int n,k,ans;
int col[Maxn][Maxn];
void solve(int l,int r,int c)
{
if(l==r) return;
int len=(r-l+k)/k,tot=(r-l+len)/len;
for(int i=1,x,y;i<tot;i++)
for(int j=i+1;j<=tot;j++)
for(int p=1;p<=len;p++)
for(int q=1;q<=len;q++)
{
x=l+(i-1)*len+p-1,y=l+(j-1)*len+q-1;
if(y>r) break;
col[x][y]=c;
}
for(int i=1;i<=tot;i++) solve(l+(i-1)*len,min(l+i*len-1,r),c+1);
}
int main()
{
n=rd(),k=rd();
solve(1,n,1);
for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) ans=max(ans,col[i][j]);
printf("%d\n",ans);
for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) printf("%d ",col[i][j]);
printf("\n");
return 0;
}
CF715D Create a Maze
有一个 \(n\times m\) 的迷宫，每一格都是一个房间，每两个相邻的房间之间有一扇门。
在所有门中，有 \(k\) 扇是锁着的，不能通行，其余没有限制。
现在你在 \((1,1)\)，需要走到 \((n,m)\)，只能向下或向右走。
设总共的行走方案有 \(T\) 种。
现在给出 \(T\)，要求设计出一个迷宫满足行走方案为 \(T\)。
要求：\(n,m\le 50,k\le 500,T\le 10^{18}\)。
$\texttt{solution}$
这一题需要按照 \(T\) 的进制来解决问题。
首先考虑用二进制，那么我们可以这样设计方案：
这样我们就可以用二进制来表示出任何 \(\le 2^{49}\) 的 \(T\) 啦！
然而我们发现如果我们将我们的以 \(2\times 2\) 改为 \(3\times 3\)，可以将前面的二进制变为六进制！！
之后构造就比较类似，我们只要改为两路 \(1\) 和中间的 \(3\times 3\) 即可。
这样最大可以表示 \(6^{24}>10^{18}\)，可以解决这道题啦！
