二阶常系数齐次线性递推数列

定义

若数列 $\{a\}$ 满足 $a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}$ ，$c_1,c_2$ 为常数，就称这种数列为二阶常系数齐次线性递推数列。

求解

假如能够将递推关系式改写为 $(a_n-ka_{n-1})=p(a_{n-1}-ka_{n-2})$ 的形式，就可以求出 $a_n-ka_{n-1}$ 的通项公式。

根据韦达定理可得：$k,p$ 为 $x^2-c_1x-c_2=0$ 的两根（这个方程又被称为这个递推式的特征方程）

因此可得：

$$a_n=\dfrac{1}{k-p}\left[\left(k^{n-1}-p^{n-1}\right)a_2-\left(k^{n-2}-p^{n-2}\right)a_1\right]$$

特别的，当 $k=p$ 时：

$$a_n=(n-1)k^{n-2}a_2-(n-2)k^{n-1}a_1$$

当 ${c_1}^2+4c_2<0$ 时，通项公式是个复数，其余不变。

例题

$$F_n=F_{n-1}+F_{n-2},F_1=1,F_2=1$$

$$x^2-x-1=0$$

$$k=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},p=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$$

$$F_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$$