数学 - 随笔分类 - EricQian06

摘要：久远的博客了，从洛谷搬过来

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摘要：今天听

m yee

$\texttt{m}\color{red}{\texttt{yee}}$ 嘴的，赶紧来补个学习笔记。我们有点时候需要计算一个较小矩阵的

n

$n$ 次幂，但直接求幂非常不方便，这是会考虑矩阵对角化，将

M

$M$ 改写为

P D P^{- 1}

$\mathcal{PDP^{-1}}$ ，这样

M^{n}

$M^n$ 次就可以写为

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Prufer 序列

摘要：定义与建立 Prufer 序列可以将一个带标号

n

$n$ 个结点的树用

[1, n]

$[1,n]$ 中的

n - 2

$n-2$ 个整数表示。一个无向带标号生成树与数列之间的双射。对于一棵树，每次我们选择它编号最小的叶子结点，删除它并记录下与它相连的节点的编号，那么最终记录下的

n - 2

$n-2$ 个数就组成了这棵树的 Prufe

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行列式、LGV、矩阵树学习笔记

摘要：前置知识：矩阵、高斯消元行列式行列式定义

det(A) = \sum_{p} (- 1)^{s g n (p)} \prod A_{i, p_{i}}

$\text{det(A)}=\sum_{p}{(-1)^{\mathrm{sgn}(p)}\prod{A_{i,p_i}}}$ 其中

sgn (p)

$\text{sgn}(p)$ 表示排列

p

$p$ 的逆序对个数。行列式性质进行一次矩阵转职，行列式不变

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数论常见定理

摘要：裴蜀定理（贝祖定理）定理指出，设

a, b

$a,b$ 是不全为

0

$0$ 的整数，则存在

x, y

$x,y$ ，使得：

a x + b y = gcd (a, b)

$ax+by=\gcd(a,b)$ 证明如果

a = 0

$a=0$ 或

b = 0

$b=0$ ，则显然成立。若

a \neq 0, b \neq 0

$a\not=0,b\not=0$ 。由于

gcd (a, - b) = gcd (a, b)

$\gcd(a,-b)=\gcd(a,b)$ ，不妨设

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二阶常系数齐次线性递推数列

摘要：定义若数列

{a}

$\{a\}$ 满足

a_{n} = c_{1} a_{n - 1} + c_{2} a_{n - 2}

$a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}$ ，

c_{1}, c_{2}

$c_1,c_2$ 为常数，就称这种数列为二阶常系数齐次线性递推数列。求解假如能够将递推关系式改写为

(a_{n} - k a_{n - 1}) = p (a_{n - 1} - k a_{n - 2})

$(a_n-ka_{n-1})=p(a_{n-1}-ka_{n-2})$ 的形式，就

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数论基础

摘要：基础概念及运用整除若对于正整数

n, m

$n,m$ ，如果存在整数

q

$q$ 使得

n = m q

$n=mq$ ，则称

m

$m$ 整除

n

$n$ ，记做

m | n

$m|n$ 。最大公约数

gcd (x, y)

$\gcd(x,y)$ 。互质最大公约数为

1

$1$ 。整除函数与整除分块记 \(\left\lfloor x\ri

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组合数学

摘要：排列组合二项式定理

(a + b)^{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) a^{n - i} b^{i}

$(a+b)^n=\sum_{i=0}^n\dbinom{n}{i}a^{n-i}b^i$ 常见组合数在

S = n_{1} \cdot a_{1}, n_{2} \cdot a_{2}, \dots, n_{k} \cdot a_{k}

$S={n_1\cdot a_1,n_2\cdot a_2,\dots,n_k\cdot a_k}$ 集合中选出

r

$r$ 个元素的方案数：大概是容斥一下，咕咕咕

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斯特林数

摘要：第一类斯特林数咕咕咕第二类斯特林数定义：把

n

$n$ 个不同的球放入

r

$r$ 个相同的盒子的方案数（盒子不能为空，记为：

S (n, r)

$S(n,r)$ 或

{\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}}

$\begin{Bmatrix}n\\r\end{Bmatrix}$ 。递推式： \(\begin{Bmatrix}n\\r\end{B

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基础线性代数（矩阵、高斯、线性基……）

摘要：（咕咕咕：矩阵的秩）向量定义就不用说了吧。。定义向量空间

Z^{n}

$\mathbb{Z}^n$ 表示定义在整数域上的向量

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}

${a_1,a_2,\dots,a_n}$ ，

Z_{k}^{n}

$\mathbb{Z}^n_k$ 表示向量运算中逐位向

k

$k$ 取模。客串一个向量旋转的公式：如果要将一个二维实数域上的向量旋转 $\

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博弈论

摘要：

SG

$\text{SG}$ 函数详解阶梯博弈只用考虑奇数阶的台阶，偶数阶的不用考虑（对手会把它再变回偶数阶）。 P3480 [POI2009]KAM-Pebbles 主要代码： for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=rd(); for(int i=n;i>=1;i-=2) ans

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