图论 - 随笔分类 - EricQian06

圆方树

摘要：粉兔的博客 1 圆方树的定义与性质圆方树最初是在仙人掌中使用的，后来逐渐被应用到一般图中，用来处理点双联通分量等问题。一个点双连通图满足的性质有：图中任意两个点都存在至少两条不重复的路径（处理起点和终点），或者说任意去掉其中一个点不能时整张图变成两个不连通的子图，即不存在割点。在一个点双联通

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1

同余最短路

摘要：久远的博客了，从洛谷搬过来

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0

1

[ARC098F] Donation（找性质+点 Kruskal 重构树）

摘要：[ARC098F] Donation 给出一个

N

$N$ 个点

M

$M$ 条边的无向连通图，每个点的标号为

1

$1$ 到

n

$n$ ，且有两个权值

A_{i}, B_{i}

$A_i,B_i$ 。第

i

$i$ 条边连接了点

u_{i}

$u_i$ 和

v_{i}

$v_i$ 。最开始时你拥有一定数量的钱，并且可以选择这张图上的任意一个点作为起始点，之后你从这个

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1

Prufer 序列

摘要：定义与建立 Prufer 序列可以将一个带标号

n

$n$ 个结点的树用

[1, n]

$[1,n]$ 中的

n - 2

$n-2$ 个整数表示。一个无向带标号生成树与数列之间的双射。对于一棵树，每次我们选择它编号最小的叶子结点，删除它并记录下与它相连的节点的编号，那么最终记录下的

n - 2

$n-2$ 个数就组成了这棵树的 Prufe

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行列式、LGV、矩阵树学习笔记

摘要：前置知识：矩阵、高斯消元行列式行列式定义

det(A) = \sum_{p} (- 1)^{s g n (p)} \prod A_{i, p_{i}}

$\text{det(A)}=\sum_{p}{(-1)^{\mathrm{sgn}(p)}\prod{A_{i,p_i}}}$ 其中

sgn (p)

$\text{sgn}(p)$ 表示排列

p

$p$ 的逆序对个数。行列式性质进行一次矩阵转职，行列式不变

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2

差分约束

摘要：（几万年前的博客了，刚从洛谷搬过来）主要内容差分约束系统是一种特殊的

n

$n$ 元一次不等式组。差分约束系统中的每个约束条件

x_{i} - x_{j} \leq c_{k}

$x_i-x_j\le c_k$ 都可以变形成

x_{i} \leq x_{j} + c_{k}

$x_i\le x_j+c_k$ 与

x_{j} \geq x_{i} - c_{k}

$x_j\ge x_i-c_k$ ，这与单源最短路中的三角形不等

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1

2

Dsu on tree

摘要：dsu on tree学习笔记（

↑

$\uparrow$ 学习参考）一般来说，Dsu on tree 大多可以和点分治互相换着用，都是处理子树或以

x

$x$ 为根的路径等问题。这种问题假设好状态基本上可以秒了。（当然有时候还可以和长链剖分互换）算法结构与模板首先类似重链剖分的预

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1

连通性相关

摘要：强联通分量强连通：有向图

G

$G$ 强连通表示，

G

$G$ 中任意两个结点连通。强连通分量（ Strongly Connected Components ，简称

SCC

$\operatorname{SCC}$ ）：极大的强连通子图。 Tarjan 维护了以下两个变量：

dfn

$\texttt{dfn}$ ：深度优

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虚树 virtual-tree

摘要：大致内容 oi-wiki上对虚树的介绍如果一棵树有若干个询问，每次询问

k

$k$ 个点，

k

$k$ 很小但

n

$n$ 比较大时，真正需要处理的点很少。在这种情况下，虚树就派上用场了。我们可以只处理那些关键点，而忽略其他点，方便处理

\sum k

$\sum k$ 与

n

$n$ 同阶的情况。那么哪些点才是需要的呢？发现

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三元环计数

摘要：无向图三元环计数从度数小的点向度数大的点连边，若度数相同则将编号小的向编号大的连边。可以证明复杂度是

O (m \sqrt{m})

$O(m\sqrt{m})$ 。有向图三元环计数将所有边看成无相，按照有向图的方式找出所有三元环，再进行检查是否在原图上也构成三元环。竞赛图三元环计数 \(\dbinom{n}{3}-

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【做题记录】图论杂题

摘要：P1268 树的重量

solution

$\texttt{solution}$ 算法：（贪心）

+

$+$ 找规律当

n = 2

$n=2$ 时，显然答案就是

d i s (1, 2)

$dis(1,2)$ 。当

n = 3

$n=3$ 时，答案：

\frac{d i s (1, 3) + d i s (2, 3) - d i s (1, 2)}{2}

$\dfrac{dis(1,3)+dis(2,3)-dis(1,2)}{2}$ 当

n

$n$ 是任

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1

图的匹配—二分图

摘要：这是第一部分：二分图第二部分：图的匹配—网络流 xht37 二分图与网络流学习笔记 ix35 的 NOI 一轮复习 I：二分图网络流 Froggy 的二分图 & 网络流杂谈（

↑

$\uparrow$ 学习资料）定义与判定如果一张无向图可以被划分为左部点和右部点，那么这是一张二分图定理

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【做题记录】[NOI2008] 假面舞会—有向图上的环与最长链

摘要：luogu 1477 [NOI2008] 假面舞会容易发现：如果图中没有环，那么面具种数一定是所有联通块内最长链之和，最少为

3

$3$ 。如果有环，则面具种数一定是所有环的大小的最大公约数。那么只要求出每一个联通块内的最长链与环即可。由于是有向边，难以通过有向边判断联通块，因此考虑建立一

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最短路

摘要：单源最短路 SPFA

★ important

$\bigstar\texttt{important}$ ：加入队列的时候一定要打上已经入队标记，不然可能在同一个循环内重复入队！队列优化 Bellman-Ford 算法。关于 SPFA ，他死了。时间复杂度

O (n m)

$O(nm)$ （容易被卡，不太稳定）如何判断负环：用

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2-SAT

摘要：非常好的博客：panyf 的 2-sat 学习笔记。定义及实现 2-sat，简单的说就是给出

n

$n$ 个集合，每个集合有两个元素，已知若干个

< a, b >

$<a,b>$ ，表示

a

$a$ 与

b

$b$ 矛盾（其中

a

$a$ 与

b

$b$ 属于不同的集合）。然后从每个集合选择一个元素，判断能否一共选

n

$n$ 个两两不矛

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生成树相关

摘要：最小、次小生成树如何生成最小、次小生成树？ Kruskal 就是暴力地将所有边排序，从小到大查看是否可以将两个连通块联通，复杂度为

O ((n + m) \log n)

$\mathcal{O((n+m)\log n)}$ （如果用斐波那契对可以降到

O (n \log n + m)

$\mathcal{O(n\log n+m)}$ ）。 Prim？咕咕咕 Boruvka

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欧拉图、哈密顿图、竞赛图

摘要：1 欧拉图 OI-Wiki 1.1 欧拉图定义通过图中所有边恰好一次且行遍所有顶点的通路称为欧拉通路。通过图中所有边恰好一次且行遍所有顶点的回路称为欧拉回路。具有欧拉回路的无向图或有向图称为欧拉图。具有欧拉通路但不具有欧拉回路的无向图或有向图称为半欧拉图。非形式化地讲，

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图的匹配—网络流

摘要：第一部分：图的匹配—二分图这是第二部分：网络流网络流

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$24$ 题题解网络流基础建模费用流基础建模（

↑

$\uparrow$ 学习资料）最大流求解 P3376 【模板】网络最大流 P4722 【模板】最大流加强版 / 预流推进 EK 算法复杂度：

O (n m^{2})

$O(nm^2)$ ，所以，关于

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EricQian's Blog

Hoping for the best but expecting the worst.

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