Dijkstra
1.C++内存四区2.算法-排序-快速排序3.算法-排序-归并排序4.c++重载5.算法-二分6.算法—前缀和7.算法—差分8.算法-双指针9.c++引用10.c++函数默认参数及占位参数11.c++函数模板12.c++类和对象-封装13.struct和class的区别14.成员属性设置为私有15.C++类和对象-对象特性(1)16.C++类和对象-对象特性(2)17.N皇后18.动态规划dp-01背包问题19.C++类和对象-对象特性(4)20.C++类和对象-对象特性(3)21.C++友元22.C++运算符重载23.C++继承24.C++多态25.C++类模板26.C++vector容器27.C++string容器28.C++deque容器29.算法-树状数组30.算法线段树31.算法-bfs32.算法-贪心33.算法-Flood Fill34.数据结构-链表35.数据结构-栈36.数据结构-队列37.P2678 跳石头38.5132139.54440.3213241.牛客寒假算法集训1-总结42.牛客寒假算法集训2-总结43.牛客寒假算法集训3-总结44.数论-质数45.博弈论46.第十四届蓝桥杯省赛C++题解47.Trie树48.并查集49.数据结构-堆50.哈希表51.拓扑排序
52.Dijkstra
53.spfa54.数论-约数55.数论-欧拉函数56.图的存储和遍历57.牛客寒假算法集训4-总结58.牛客寒假算法集训5-总结59.牛客寒假算法集训6-总结60.Bellman_ford61.Floyd62.编辑距离63.数位dp朴素版-适用于稠密图
思路:
集合S为已经确定最短路径的点集。
- 初始化距离
一号结点的距离为零,其他结点的距离设为无穷大(看具体的题)。 - 循环n次,每一次将集合S之外距离最短X的点加入到S中去(这里的距离最短指的是距离1号点最近。点X的路径一定最短,基于贪心,严格证明待看)。然后用点X更新X邻接点的距离。
时间复杂度:
寻找路径最短的点:O(n2)
加入集合S:O(n)
更新距离: O(m)
所以总的时间复杂度为 O(n2)
注意:稠密图用邻接矩阵存
AcWing-849
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=510;
int n,m;
int g[N][N];//邻接矩阵用来存储
int dist[N];//表示起点到该点的最短路
bool st[N];//判断该点是否确定最短路
int dijkstra()
{
memset(dist,0x3f,sizeof dist);//初始化正无穷
dist[1]=0;// 起点距离为0
for(int i=0;i<n-1;i++)
{
int t=-1;
for(int j=1;j<=n;j++)
if(!st[j]&&(t==-1||dist[t]>dist[j]))//该点没有确定最短路
t=j;
for(int j=1;j<=n;j++)//迭代每一个点
dist[j]=min(dist[j],dist[t]+g[t][j]);//将1~j更新1~j 和 1~t+t~j 的较小的值
st[t]=true;//t已经确定最短路 更新为true;
}
if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;//如果1·n的距离为正无穷 表示到不了第n个点返回-1
return dist[n];//否则返回1~n的最短路
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(g,0x3f,sizeof g);//给邻接矩阵初始化成正无穷
while(m--)
{
int a,b,c;
cin>>a>>b>>c;
g[a][b]=min(g[a][b],c);//两个点可能存在多个边,只要最短的
}
cout<<dijkstra()<<endl;
return 0;
}
堆优化-稀疏图
思路:
堆优化版的dijkstra是对朴素版dijkstra进行了优化,在朴素版dijkstra中时间复杂度最高的寻找距离
最短的点O(n^2)可以使用最小堆优化。
- 一号点的距离初始化为零,其他点初始化成无穷大。
- 将一号点放入堆中。
- 不断循环,直到堆空。每一次循环中执行的操作为:
弹出堆顶(与朴素版diijkstra找到S外距离最短的点相同,并标记该点的最短路径已经确定)。
用该点更新临界点的距离,若更新成功就加入到堆中。
时间复杂度:
寻找路径最短的点:O(n)
加入集合S:O(n)
更新距离:O(mlogn)
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
const int N=1e6+10;//n~m用邻接表
int n,m;
int e[N],h[N],ne[N],idx,w[N];//邻接表存储
int dist[N];//表示起点到该点的最短路
bool st[N];//判断该点是否确定最短路
void add(int a, int b, int c)
{
e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}
int dijkstra()
{
memset(dist,0x3f,sizeof dist);//初始化正无穷
dist[1]=0;
priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>> heap;//小根堆优化 o(n^2)~o(n/1);
heap.push({0,1});//起始点入队
while(!heap.empty())
{
auto t=heap.top();
heap.pop();
int ver=t.y;
int dis=t.x;
if (st[ver]) continue;
st[ver] = true;
for(int i=h[ver];i!=-1;i=ne[i])//更新所有点
{
int j=e[i];
if(dist[j]>dis+w[i])//更新成功就入队
{
dist[j]=dis+w[i];
heap.push({dist[j],j});
}
}
}
if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(h,-1,sizeof h);//给邻接表初始化
while(m--)
{
int a,b,c;
cin>>a>>b>>c;
add(a,b,c);
}
cout<<dijkstra()<<endl;
return 0;
}
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