Dijkstra

朴素版-适用于稠密图

思路:
集合S为已经确定最短路径的点集。

  1. 初始化距离
    一号结点的距离为零,其他结点的距离设为无穷大(看具体的题)。
  2. 循环n次,每一次将集合S之外距离最短X的点加入到S中去(这里的距离最短指的是距离1号点最近。点X的路径一定最短,基于贪心,严格证明待看)。然后用点X更新X邻接点的距离。

时间复杂度:
寻找路径最短的点:O(n2)

加入集合S:O(n)

更新距离: O(m)

所以总的时间复杂度为 O(n2)

注意稠密图用邻接矩阵存
AcWing-849

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N=510;

int n,m;
int g[N][N];//邻接矩阵用来存储
int dist[N];//表示起点到该点的最短路
bool st[N];//判断该点是否确定最短路

int dijkstra()
{
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);//初始化正无穷
    dist[1]=0;// 起点距离为0

    for(int i=0;i<n-1;i++)
    {
        int t=-1;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(!st[j]&&(t==-1||dist[t]>dist[j]))//该点没有确定最短路
            t=j;

    for(int j=1;j<=n;j++)//迭代每一个点
        dist[j]=min(dist[j],dist[t]+g[t][j]);//将1~j更新1~j 和 1~t+t~j 的较小的值

    st[t]=true;//t已经确定最短路 更新为true;
    }

    if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;//如果1·n的距离为正无穷 表示到不了第n个点返回-1
    return dist[n];//否则返回1~n的最短路
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);

    memset(g,0x3f,sizeof g);//给邻接矩阵初始化成正无穷

    while(m--)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        g[a][b]=min(g[a][b],c);//两个点可能存在多个边,只要最短的
    }
    cout<<dijkstra()<<endl;

    return 0;
}

堆优化-稀疏图

思路:
堆优化版的dijkstra是对朴素版dijkstra进行了优化,在朴素版dijkstra中时间复杂度最高的寻找距离
最短的点O(n^2)可以使用最小堆优化。

  1. 一号点的距离初始化为零,其他点初始化成无穷大。
  2. 将一号点放入堆中。
  3. 不断循环,直到堆空。每一次循环中执行的操作为:
    弹出堆顶(与朴素版diijkstra找到S外距离最短的点相同,并标记该点的最短路径已经确定)。
    用该点更新临界点的距离,若更新成功就加入到堆中。

时间复杂度:
寻找路径最短的点:O(n)

加入集合S:O(n)

更新距离:O(mlogn)

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef pair<int,int> PII;

const int N=1e6+10;//n~m用邻接表

int n,m;
int e[N],h[N],ne[N],idx,w[N];//邻接表存储
int dist[N];//表示起点到该点的最短路
bool st[N];//判断该点是否确定最短路
void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

int dijkstra()
{
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);//初始化正无穷
    dist[1]=0;

    priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>> heap;//小根堆优化 o(n^2)~o(n/1);
    heap.push({0,1});//起始点入队

    while(!heap.empty())
    {
        auto t=heap.top();
        heap.pop();

        int ver=t.y;
        int dis=t.x;
        if (st[ver]) continue;
        st[ver] = true;

        for(int i=h[ver];i!=-1;i=ne[i])//更新所有点
        {
            int j=e[i];
            if(dist[j]>dis+w[i])//更新成功就入队
            {
                dist[j]=dis+w[i];
                heap.push({dist[j],j});
            }
        }
    }
    if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);

    memset(h,-1,sizeof h);//给邻接表初始化

    while(m--)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        add(a,b,c);
    }
    cout<<dijkstra()<<endl;

    return 0;
}
posted @   Eric`  阅读(24)  评论(0编辑  收藏  举报
相关博文:
阅读排行:
· 在鹅厂做java开发是什么体验
· 百万级群聊的设计实践
· WPF到Web的无缝过渡:英雄联盟客户端的OpenSilver迁移实战
· 永远不要相信用户的输入:从 SQL 注入攻防看输入验证的重要性
· 浏览器原生「磁吸」效果!Anchor Positioning 锚点定位神器解析
点击右上角即可分享
微信分享提示