数论学习笔记

数论学习笔记

整除性

$def_0$：$a$ 整除$b$指，若$a,b$为整数且$a \ne 0$ 存在整数$c$ 使得$b = ac$。称$a$是$b$的因子，$b$是$a$的倍数 记作$a|b$ 。如$13|182,-5|10...$

对于$a,b,c\in\Z$ 有以下几个结论

1. 若$b|a,c|b$ 则 $c|a$
2. 若$b|a \iff cb|ca$
3. 若$c|a，c|b$ 对于$m,n \in \Z$ 有 $c| ma + mb$

$def_1$[带余除法]:$a,b \in \Z$ ，其中$b>0$则存在连个唯一的整数$q,r$

$a = bq + r \ \ 0 \leq r < b （1）$

$def_2$ :把（1）式中的的q叫做不完全商，将r叫做非负最小剩余，记作$\left \langle a \right \rangle_b = r$ 其中b通常省略不写.有

$\left \langle a \pm b \right \rangle = \left \langle \left \langle a \right \rangle \pm \left \langle b \right \rangle \right \rangle$

$\left \langle a \times b \right \rangle = \left \langle \left \langle a \right \rangle \times \left \langle b \right \rangle \right \rangle$

此部分应用见数论分块

最大公因数数和最小公倍数

辗转相除法和最大共因数

$def_0$:定义啊$(a,b)$为$a,b$的最大共因数，$[a,b]$为$a,b$的最小公倍数,$[a,b] = \frac{ab}{(a,b)}$.

$def_1$:辗转相除法$a,b,c \in \Z$ 且皆不为0有 $a = bq + c \ ,\ q \in \Z$ ，则$(a,b)=(b,c)$计算机类通常用递归实现

1. $a,b >0$ 则$(a,b)$就是辗转相除法的最后的一个余数写作$(a,b) = r$
2. 给定两整数$a,b,>0$,则存在两整数使得$(a,b)=ma +nb$
3. 若$a|bc,(a,b)=1$ 则$a|c$
4. 设 $a_1,a_2,..a_n,n>2$则存在$d_n = (a_1,a_2,..a_n)$为序列最大的共因数
5. 设 $a_1,a_2,..a_n,n>2$则存在$x_1,x_2 .. x_n$使得$(a_1,a_2,..a_n) = a_1x_1 + ... a_nx_n$

对于最大共因数可用math库中的 __gcd函数实现 ，最小公倍数根据定义为$ab /gcd(a,b)$

素数整数唯一分解定理

当 p 为素数时 ，$a \in \Z$：有几个引理

• $a \in \Z$ q为a的最小正因数 $q \le \sqrt{a}$
• $p|a$或$(p,a)=1$
• $p|ab$,则$p|a$或$p|b$
• $\forall b > 1.b \in \Z$,$p$ 是$p$的一素因子, $p$ 必然出现在$b$分解素数乘积分式中

$def_0$ [整数唯一分解定理]对于$a \in \Z$ 有

$$a=q_1q_2..q_n \ \ \ q_1 \le q_2 .. \le q_3$$

$def_1$ :素数是无限多个
$def_2$ :存在无数个形如$4n-1$的素数
$def_3$ :对于$x_0 \in \Z$ 不存在多项式$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ..a_1x + a_0$使得所有$\le x_0$的整数时都成立

根据引理1,可以通过试除法来判断一个数是否为素数，时间复杂度为$O(\sqrt{n})$

bool is_prime(int n) {
    if (n < 2) return false;
    for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++)
        if (n % i == 0) return false;
    return true;
}

当一次性对$1-n$之间数进行素性判断时，其复杂度就会到达$O(n\sqrt{n})$ 于是可以通过两种算法来实现快速筛选素数分别是Eratosthenes筛法$O(n\log n \log n)$与线性筛$O(n)$ ,前者可以通过bitset 或分块进一步优化，后者则不仅可以求素数也可以求任何积性函数,因为频繁访问数组后者使用bitset 则会使性能下降.

void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (st[i]) continue;
        primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = i + i; j <= n; j += i)
            st[j] = true;
    }
}

void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

算法	时间	空间
朴素算法	302ms	808kb
埃式筛	20ms	1372kb
线性筛	20ms	680 kb
bitset优化埃式筛	20ms	808kb
bitset优化线性筛	20ms	764kb

试除法分解质因数，复杂度为$O(\sqrt{n})$

void divide(int n) {
   m = 0;
   for (int i = 2; i*i <= n; i++) {
       if (n % i == 0) { // i是质数
           p[++m] = i, c[m] = 0;
           while (n % i == 0) n /= i, c[m]++; // 除掉所有的i
       }
   }
   if (n > 1) // n是质数
       p[++m] = n, c[m] = 1;
   for (int i = 1; i <= m; i++)
       cout << p[i] << '^' << c[i] <<endl;
}

费马数和梅森素数数

梅森素数

$def_0$ : $p$ 属于素数,形如$2^p-1$的素数叫梅森素数，记作$M_p = 2^p-1$
$def_2$ : $p$是一个奇素数，$q$是$M-P$的一个素因子，则$q$ 形如$q=2kp+1$

引理:$a>0,b>0,S>0则(S^a-1,S^b-1)=S^{(a,b)} - 1$

费马数

$def_0$ :形如$T_n = 2^{2^n} + 1, n > 0$的数叫费马数

$def_1$ :$F_m,F_n,m \ne m$有$(F_m,F_n)=1$

完全数

$def_0$ $n\in \Z$,$n$的全部因数之和为$2n$ 则称$n$为完全数

$def_1$ $n = p_{1}^{a_1}...p_k^{a_k}$是$n$的标准分解式则，$\sigma(n) = \sum_{d|n}d$表示n的诸因子之和有

$$\sigma(n) = \frac{p_1^{a_1+1}}{p_1 - 1}... \frac{p_k^{a_k+1}}{p_k - 1}$$

$def_2$ n 是一个偶完全数的充分必要条件是$n$ 具有形如$2^{p-1}(2^p - 1)$的因子,其中$p$和$2^p - 1$均为素数
$def_3$ n 是一个奇完全数,则$n$ 有分解式$n=p^aq^{b_1}...q^{b_t}$,$a,p$都是形如$4n-1$的素数

一次不等式

$def_0$ :二次不等式指的式形如 $(1)a_1x + a_2y = n$其中$a_1,a_2,n$ 均为给定的整数

$def_1$ :$a_1x + a_2y = n$有解的充分必要条件是$(a_1x,a_2y)|n$

$def_2$ :$(a_1,a_2)=1$ 则(1)的全部解可表示为$x=x_0+a_2t,y=y_0-t$,其中$x_0,y_0$为(1)的一组解,t为任意整数

$def_3$ :$s \ge 2$，$s$元一次不等式$a_1x_1 + a_2x_2 + .. + a_sx_s = n$有解的充分必要条件是$(a_1,..,a_s) |n$

通过扩展欧几里得算法$O(\log b)$，可以解决二次不等式的问题

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (!b)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

同余

同余的定义及其性质

$def_0$ : $m a,b,\in \Z$且 $m$ 除 $a,b$ 所得的余数相同那么我们说$a,b$对模数$m$ 同余 记作 $a \equiv b \pmod n$，不同余记作 $a \not \equiv b \pmod n$

同余的一些性质

• $a \equiv a \pmod m$ (自反性)
• $a \equiv b \pmod m$则 $b \equiv a \pmod m$ （对称性)
• $a \equiv b \pmod m$,$b \equiv c \pmod m$ 则 $a \equiv c \pmod m$(传递性)

$def_0$ $a,b$ 对于$m$ 同余的充分必要条件是$m|a-b$

$def_1$ $a \equiv b \pmod m \ \ \alpha \equiv \beta \pmod m$那么有

1. $ax + \alpha y = bx + \beta y \pmod m$
2. $a\alpha \equiv b \beta \pmod m$
3. $a^n \equiv b^n \pmod m,n > 0$
4. $f(x) \equiv f(b)$ 其中 $f(x)$为任意给定的一个整系数多项式

$def_2$ :若 $ac \equiv bc \pmod m$且若 $(m,c) = d$ 则$a \equiv b \pmod_{ \frac{m}{d}}$

剩余系和完全剩余系

剩余系

$def_0$ :$m \in \Z^+$ ，$C_r(r = 0,1,...m-1)$ 表示所有形如$qm+r$的整数构成的集合其中$q=0,\pm 1,\pm 2 ..$ 则 $C_0...C_{m-1}$ 叫做模数$m$ 的剩余系

1. 设$m>0,C_0,C_1...C_{m-1}$是模数$m$的剩余系，则有

   1. 每一个整数恰好包含在某一个类$C_j$ 里, 这里 $0 \le j \le m - 1$
   2. $x,y$ 属于同一类的充分必要条件是$x\equiv y \pmod m$

完全剩余系

$def_0$ :在模数$m$ 的剩余系$C_0,C_1 ..C_{m-1}$ 中各取一个数$a \in C_j$ $j = 0,1..m-1$ 此$m$ 个数$a_0,a_1..a_{m-1}$ 称为为$m$ 的完全剩余系.

$def_1$ :由上可知$m$ 个整数构成$m$的完全剩余系的充分必要条件是两两不同余

最常用的完全剩余系的是$0,1,2..,m-1$ ,他们被称为模$m$ 的非负最小剩余系

$def_2$ :$(k,a) = 1$ 而 $a,a_2,..a_m$ 是模数$m$ 的一组完全剩余系,则$ka,ka_2..ka_m$ 构成$m$ 的完全剩余系

$def_3$ :设$m_1,m_2 >0,(m_1,m_2)=1$ ，而$x_1,x_2$ 分别通过$m_1,m_2$ 的完全剩余系，则$

$def_4$ Wilson定理:$p$ 是一个素数 ,$(p-1)!+1\equiv \pmod p$

缩系

$def_0$ :$m\in\Z$ 在与$m$ 互素的剩余系中个取一个数组成的集合叫模数$m$ 的缩系

欧拉函数

$def_0$ :定义欧拉函数 $\varphi(n)$ 是一个定义在正整数集合上的函数$\varphi(n)$ 的指的是序列$[0,1,2..n-1]$ 中与$n$ 互素的个数，显然当$n$ 为素数时$\varphi(n) = n - 1$

$def_1$ ：模数$m$ 的一组缩系中含有$\varphi(m)$ 个数

$def_2$ : 若有$a_1,..a_{\varphi(m)}$ 个整数与$m$ 互素，则$a_1,..a_{\varphi (m)}$形成模$m$ 的缩系的充分必要条件是两两对模$m$ 不同余

$def_3$:$(a,m)=1,x$ 通过模数$m$ 的缩系，则$ax$ 也通过模数$m$ 的一组缩系.

$def_4$ :欧拉定理：$m>1,(a,m)=1$ 则$a^{\varphi(m)} \equiv1\pmod m$

$def_5$:费马小定理 ：$p$ 为素数 ,则$a^p \equiv a \pmod p$ 也可写作$a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$

一次同余式

$def_0$ $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +...+a_1x + a_0:(1)，(n>0),i=0,...n$ 有$f(x) \equiv 0 \pmod m,m >0$ 叫做模数$m$ 的同余式，若$a_n \not \equiv 0 \pmod m$ 则$n$ 叫做 $(1)$的次数满足$f(x_0) \equiv 0 \pmod m$ 则$x_0 \equiv x \pmod m$ 叫做同余式的解，不同的解是值互不同余的解

四个重要定理

1. 设$(a,m)=1,m>0$ 则同余式$ax \equiv b \pmod m$ 恰好有一个解.

2. 在1的条件下$x \equiv ba^{\varphi(m)-1} \pmod m$ 是唯一解

3. 设$(a,m)=d,m>0$ 同余式$ax \equiv b \pmod m$有解的充分必要条件是:$d|b$

4. 设$(a,m) = d , m > 0 ,d|b$ 同余式$ax \equiv b \pmod m$ 有$d$ 个解

$def_1$ :$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +...+a_1x + a_0:(1)，(n>0),i=0,...n$ 有解的充分必要条件是满足$(a_1,a_2...a_n)|a_0$ ，若有解则解的个数是$m^{a_0-2}(a_1,a_2...a_n)$

乘法逆元

对于一个线性同余方程$ax \equiv 1 \pmod b$ ,我们称$x$ 为 $a\mod b$ 的逆元,记作$a^{-1}$
通过快速幂或者扩欧来求解,快速幂利用了费马小定理因此要求$b$ 为素数,而扩展欧几里得算法仅要求$\gcd (a,b) = 1$

long long binpow(long long a, long long b) {
  long long res = 1;
  while (b > 0) {
    if (b & 1) res = res * a;
    a = a * a;
    b >>= 1;
  }
  return res;
}

模数是素数的同余式

$def_0$ :Lagrange 定理:$p$ 是素数$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +...+a_1x + a_ 0$ $(n>0),a_n \not \equiv 0 \pmod p$ 则同余式$f(x) \equiv 0\pmod p$最多有$n$ 个解

推论: $p$ 是素数 $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +...+a_1x + a_ 0 \equiv 0 \pmod p$

的解的个数大于$n$ 则$p|a_i(i=0...n)$

$def_1$ ：$Wolstenholme$定理设$p > 3$ 且$q$ 为素数有

$$\sum_{k=1}^{p-1} \frac{(p-1)!}{k} \equiv 0 \pmod p^3$$

孙子定理

$$\left \{ \begin{matrix} x \equiv b_1 \pmod {m_1} \\ x \equiv b_2 \pmod {m_2} \\ ... \\ x \equiv b_n \pmod {m_n} \end{matrix} \right .$$

被称为一次同余方程组,孙子算法可以系统化的解决此类问题,孙子算法推广为孙子定理也称中国剩余定理.

$def_0$ :设$m_0,m_1...m_{n-1}$ 为$n$ 个两两互素的数那么,有模$M = m_1m_2..m_n$ 的唯一解

$$x \equiv M_1M_1'b_1 + M_2M_2'b_2 ...+ M_{n}M_{n}' b_n$$

其中有$M_i'M_i \equiv 1 \pmod {m_i},i = 1,...,k$

$def_1$ :$m_1,m_2...m_k$ 是$k$ 个两两互素的正整数数,$M = m_1m_2..m_n$那么有解的充分必要条件是$f(x) \equiv 0 \pmod m_i(i = 1,..,k)$

LL CRT(int k, LL* a, LL* r) {
  LL n = 1, ans = 0;
  for (int i = 1; i <= k; i++) n = n * r[i];
  for (int i = 1; i <= k; i++) {
    LL m = n / r[i], b, y;
    exgcd(m, r[i], b, y);  // b * m mod r[i] = 1
    ans = (ans + a[i] * m * b % n) % n;
  }
  return (ans % n + n) % n;
}

模数是素数幂的同余式

$f(x) =a_nx^n+..+a_1x+a_0 \pmod {p^a},n>0,p^a \not | a_n$

对于上式显然有;$f(x) \equiv\pmod p$

$def_1$ :设$x\equiv x_i \pmod p$

参考

《具体数学》
OIwiki
《初等数论讲义》