P4071 [SDOI2016]排列计数

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题目大意：求$n$的错位排序数

有全排列$1\sim n,\left \{ 1,2,3,\dots ,n\right \}$对于$a[i]\ne i$
我们称为错位排列
有递推式

$$D_n = (n-1)(D_{n-1} + D_{n-2})$$

证明：
设有$n$的全排列$\left\{1,2,3,4, \dots n \right \}$
当$n = 1$时$D_n$为0
当$n = 2$时$D_n$为1
设最后1位为$x_n$
有$n（n>2）,k(k \ne n)$n在第$k$位

1. 若$k$在$n$上有 $D_{(n-2)}$种错排
2. 当$k$不排在第$n$位时，那么将第$n$位重新考虑成一个新的“第$k$位”，这时的包括$k$在内的剩下$n-1$个数的每一种错排，都等价于只有$n-1$个数时的错排（只是其中的第$k$位会换成第$n$位）。其错排数为$D_{n-1}$。
   因为$k$有$n-1$种取法所以$D_n = (n-1)(D_{n-1} + D_{n-2})$

#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long ll;
ll f[25];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    f[1] = 0,f[2] = 1;
    for(int i = 3 ; i <= n ; i ++ )
    {
        f[i] = (i - 1)*(f[i - 1] + f[i - 2]);
    }
    printf("%lld",f[n]);
}

然后我们就可写下面一道题了 [SDOI2016]排列计数

求有多少种 $1$ 到 $n$ 的排列 $a$，满足序列恰好有 $m$ 个位置 $i$，使得 $a_i = i$。
答案对 $10^9 + 7$ 取模。

题目大意：
题意是让长度为n的序列有且仅有有m个数在原本的位置上.

也就是求除$n-m$的错位排序数乘上$m$个数的位置$C^n_m$
$C^n_m \times D_{n-m}$

通过预处理阶乘逆元和错位排序数，在进行查表操作即可

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 1000010;
const int mod = 1e9 + 7;
ll db[N];
ll invfact[N],fact[N];


int power(int a,int b,int p)
{
    int res = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1)res = (ll)res * a % p;
        a = (ll) a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

void facts()
{
    fact[0] = invfact[0] = 1;
    for(int i = 1 ; i <= N ; i ++ )
    {
        fact[i] = (ll)fact[i - 1] * i % mod;
        invfact[i] = (ll)invfact[i - 1] * power(i,mod - 2,mod) % mod;
    }
}


void dbs()
{
    db[1] = 0,db[2] = 1;
    for(int i = 3 ; i <= N ; i ++ )
    {
        db[i] =(i - 1)*(db[i - 1] + db[ i - 2 ]) % mod;
    }
}




int main()
{
    
    int T,n,m;
    scanf("%d",&T);
    facts();
    dbs();
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if(n == m){printf("1\n");continue;}
                    
        ll cnm = (ll)fact[n] * invfact[m] % mod * invfact[n - m] % mod;
        printf("%lld\n",(ll)cnm * db[n-m]%mod);

    }

}