高斯消元求线性方程组

高斯消元

目录

• 高斯消元
  • 给定一个线性方程组，对其求解
  • 何为高斯消元
  • 高斯消元法思想概念
  • 我们可以通过高斯消元法可在 $n^3$复杂度下求出线性方程的解
  • 高斯消元的核心步骤
  • 高斯消元算法步骤
  • 代码如下

给定一个线性方程组，对其求解

$$\begin{cases} & a_{11}x + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_{n} = b_1\\ & a_{21}x + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_{n} = b_2\\ & a_{m1}x + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mm}x_{n} = b_m\\ \end{cases}$$

何为高斯消元

数学上，高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数规划中的一个算法，可用来为线性方程组求解。但其算法十分复杂，不常用于加减消元法，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分省时。一些极大的方程组通常会用迭代法以及花式消元来解决。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。亦有一些方法特地用来解决一些有特别排列的系数的方程组

高斯消元法思想概念

德国数学家高斯对消元法进行了思考分析，得出了如下结论：

1. 在消元法中，参与计算和发生改变的是方程中各变量的系数；
2. 各变量并未参与计算，且没有发生改变；
3. 可以利用系数的位置表示变量，从而省略变量；
4. 在计算中将变量简化省略，方程的解不变。

高斯在这些结论的基础上，提出了高斯消元法，首先将方程的增广矩阵利用行初等变换化为行最简形，然后以线性无关为准则对自由未知量赋值，最后列出表达方程组通解。

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我们可以通过高斯消元法可在 $n^3$复杂度下求出线性方程的解

增广矩阵
所谓增广矩阵，即为方程组系数矩阵$A$ 与常数列$b$ 的并生成的新矩阵，即 ，增广矩阵行初等变换化为行最简形，即是利用了高斯消元法的思想理念，省略了变量而用变量的系数位置表示变量，增广矩阵中用竖线隔开了系数矩阵和常数列，代表了等于符号

对于

$$\begin{cases} & a_{11}x + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_{n} = b_1\\ & a_{21}x + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_{n} = b_2\\ & a_{m1}x + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mm}x_{n} = b_m\\ \end{cases}$$

有

$$\begin{pmatrix} &a11 &a12 &\dots &b_{1} \\ &a21 &a22 &\dots &b_{2} \\ &a31 &a32 &\dots &b_{3} \\ &a41 &a42 &\dots &b_{4} \end{pmatrix}$$

增广矩阵

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高斯消元的核心步骤

1. 把某行乘以一个非0的数
2. 交换2行的位置
3. 把某行的若干倍加到另一行上

我们把这$3$类操作称为初等行列变化
高斯消元通过一个通用的形式，把我们的方程变为**“阶梯形矩阵”*

$$\begin{cases} & a_{11}x + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_{n} = b_1\\ & a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_{n} = b_2\\ & \dots + a_{mm}x_{n} = b_m\\ \end{cases}$$

阶梯不一定都是这样的，因此我们有
对于

1. 完美阶梯型，就会有唯一解
2. 不完美阶梯型
   3. 若有方程$0 = d$无解
   4. 若有方程$0 = 0$有无穷多组解

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高斯消元算法步骤

1. 枚举每一列$c$，找到当前一列，一个绝对值最大的一行
2. 将该行$c$换到最上面一行(未确定阶梯型的行，并不是第一行)
3. 将该行第一个系数变成1，方程两边同除系数
4. 将当前列$c$下面所有行的系数都消为$0$【通过3操作】
5. 在枚举$c + 1列$继续迭代

代码如下

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace  std;
const int N = 110;
const double esp = 1e-6;
int n;
double a[N][N];


int gauss()
{
    int c;//列
    int r;//行
    for(c = 0,r = 0; c < n ;c ++)
    {
        int t = r;
        for(int i = r ; i < n ; i ++)
        if(fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
        t = i;//找到绝对值最大的一行
        
        if(fabs(a[t][c]) < esp)continue;
        /*如果当前这一列绝对值最大为0则
        */
        
        for(int i = c ; i <= n ; i ++ )swap(a[t][i],a[r][i]);//把当前一行换到最上面
        for(int i = n ;i >= c ; i--)a[r][i] /=a[r][c];
		/*
		 把当前这一行的第一个数，变成 1， 方程两边同时除以 第一个数，
		必须要倒着算，不然第一个数直接变1，系数就被篡改，后面的数字没法算
		*/
        
        for(int i = r + 1; i < n ;i ++)
        if(fabs(a[i][c]) > esp)//已经是 0就没必要操作了
            for(int j = n; j >= c ;j --)// 把当前列下面的所有数，全部消成 0
                a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];//把第一行第一个数变成0 
        r++;//这行工作做完了继续下一行
        
    }
    
    
        
    if(r < n)//说明剩下方程的个数是小于 n 的，说明不是唯一解，判断是无解还是无穷多解
    {// 因为已经是阶梯型，所以 r ~ n-1 的值应该都为 0
        for(int i = r;i < n ; i ++ )
        if(fabs(a[i][n]) > esp)
            return 2;//无解
        return 1;//无限解
        
    }
    for(int i = n - 1 ; i >= 0 ; i --)//用最后一列减去除了每一列xi之外的所有其他数
        for(int j = i + 1 ; j <= n ; j ++ )
        a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];
        
    return 0;//有唯一解
    
}


int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 0 ; i < n ; i ++ )
        for(int j = 0 ; j < n + 1 ; j ++ )
        scanf("%lf",&a[i][j]);
        
    int t = gauss();
    if(t == 0 )
    {
        for(int i = 0; i < n ; i ++ )printf("%.2lf\n",a[i][n]);
    }
    else if(t == 1)puts("Infinite group solutions");
    else puts("No solution");
    
}