二维偏序

二维偏序

本文瞎胡

众所周知,逆序对是经典的二维偏序问题 ( 反正我一开始是不知道 ) .

我认为二维偏序问题可以概括为 \(:\) 双约束条件的元素统计问题.

而逆序对的定义是 \(i<j\) 且 \(v_i>v_j\) 的一对数字称为一对逆序对.

双约束分别是位置和权值.

一般考虑先定一维,再用某种方法去维护第二维.

例如,逆序对中,我们需要定第一维 \(:\) 位置 .

而这是输入就有的,所以不需额外固定.

再看另一个例子 \(:\) 对于二维平面上的一些点 \((x_i,y_i)\) , 满足在一条直线 \(x+y=c\) 右侧且在另一条直线 \(x=t\) 左侧的点有多少个的问题.

可以发现,这相当于是对于一些点 \((x_i,y_i)\) 统计有多少个点满足 \(x+y<c\) 且 \(x<t\) .

这是经典的二维数点问题,如果给定的区域是矩形,则可以用二维线段树或二维树状数组完成,(缺点,难写难调).

逆序对的二维偏序实现方式是怎样的呢 \(?\)

定第一维 \(:\) 从前向后考虑,这样每次只需考虑已经处理过的元素.

查询第二维 \(:\) 用权值树状数组维护一个权值的前缀和 , 即维护小于当前位置权值的点有多少个.(因为树状数组本身即是前缀形式,所以和一般的树状数组写法相同).

合并 \(:\) 从前向后把元素插入权值树状数组,每次查询从当前元素到最大元素的权值个数累加答案即可.

这样统计答案为什么是对的 \(?\) 因为在当前元素前面的元素一定已经被插入了树状数组,此时查询从当前权值到最大权值的权值个数即是对于当前位置 \(j\) 满足 \(i<j\) 且 \(v_i>v_j\) 的元素个数.

另一个问题二维数点如何实现呢 \(?\)

先按照显然的易处理的第二维 \(x<t\) 排序,再考虑用权值树状数组去维护第二维,这里的权值显然定义为 \(x+y\) , 直接查询前缀和即可.

当然,以上用到权值树状数组的地方完全可以使用权值线段树代替 ( 如果时间卡的不紧的话 ) , 之所以选择树状数组,是因为树状数组好写好调,常数小,也省空间.