ZROI#1004

ZROI#1004

需要一点数学基础的题目叭,我因为比较菜,观察能力不够,所以卡了半个小时叭.
我们化一化原式:

\[(x^2+y)^2\equiv (x^2-y)^2\pmod p \]

\[x^4+2x^2y+y^2\equiv x^4-2x^2y+y^2\pmod p \]

\[2x^2y\equiv-2x^2y\pmod p \]

\[4x^2y\equiv 1\pmod p \]

唉唉唉!\(y\)不就是\(4x^2\)在模\(p\)意义下的逆元吗?

题目里又保证\(p\)一定是质数,所以逆元唯一.

虽然原序列中的元素保证两两不同,但极可能会有属于同一剩余类的元素.

而逆元其实也是一个剩余类,所以我们要取原序列的所有剩余类进行统计.

这样就做完了叭?

不,没有.
你还要考虑不存在逆元的情况.
虽然模数是质数,对于一般的数字一定存在逆元,但有一个剩余类是例外:\(0\).
显然,\(0\)是不应该有逆元的.
这样才是真正做完了这题.

\(Code:\)

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <map>
#include <set>
#define MEM(x,y) memset ( x , y , sizeof ( x ) )
#define rep(i,a,b) for (int i = (a) ; i <= (b) ; ++ i)
#define per(i,a,b) for (int i = (a) ; i >= (b) ; -- i)
#define pii pair < int , int >
#define one first
#define two second
#define rint read<int>
#define int long long
#define pb push_back

using std::queue ;
using std::set ;
using std::pair ;
using std::max ;
using std::min ;
using std::priority_queue ;
using std::vector ;
using std::swap ;
using std::sort ;
using std::unique ;
using std::greater ;

template < class T >
    inline T read () {
        T x = 0 , f = 1 ; char ch = getchar () ;
        while ( ch < '0' || ch > '9' ) {
            if ( ch == '-' ) f = - 1 ;
            ch = getchar () ;
        }
       while ( ch >= '0' && ch <= '9' ) {
            x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( ch - 48 ) ;
            ch = getchar () ;
       }
   return f * x ;
}

const int N = 1e5 + 100 ;

std::map < int , int > mk ;
int n , ans , mod , v[N] ;

inline int quick (int a , int p) {
    int res = 1 ;
    while ( p ) {
        if ( p & 1 ) res = ( res * a ) % mod ;
        a = a * a % mod ; p >>= 1 ;
    }
    return res % mod ;
}

inline int check (int ll , int rr , int x) {
    int l = ll , r = rr ;
    while ( l <= r ) {
        int mid = ( l + r ) >> 1 ;
        if ( v[mid] % mod == x ) return mid ;
        if ( v[mid] % mod < x ) l = mid + 1 ;
        if ( v[mid] % mod > x ) r = mid - 1 ;
    }
    return - 1 ;
}

signed main (int argc , char * argv[]) {
    n = rint () ; mod = rint () ;
    rep ( i , 1 , n ) v[i] = rint () ;
    rep ( i , 1 , n ) { v[i] %= mod ; ++ mk[v[i]] ; }
    sort ( v + 1 , v + n + 1 ) ;
    for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i) {
        if ( ! v[i] ) continue ;
        int tmp = ( v[i] * v[i] << 2 ) % mod ;
        int inv = quick ( tmp , mod - 2 ) % mod ;
        int pos = check ( 1 , n , inv ) ;
        if ( pos == - 1 || pos == i ) continue ;
        ans += mk[v[pos]] ;
    }
    printf ("%lld\n" , ans ) ;
    return 0 ;
}