「Log」2024.1.2 小记

序幕

\(\text{6:40}\)：上班，调题。

LCT 板子调不出来，飞舞了。

两个懒标记搞混了几次，最后发现加法标记下传的时候没有乘 \(siz\)，改完就过了。

\(\color{blueviolet}{P1501}\)

LCT 板子，链加链乘查询链和，断边加边。

间幕 \(1\)

三叉神经树，之前就想写这题了。

题解看了半天，发现自己对 LCT 理解不够透彻，恶补了一下。

写完发现只有小点过不了，而且答案刚刚好全反，最后发现 >> 1 写成 >> 2 了，这能拿 \(90pts\) 是没想到的。

\(\color{black}{P4332}\)

LCT 爆踩树剖的非常好题目啊。

将节点分为四种，子节点值为 \(1\) 的个数分别为 \(0/1/2/3\)，叶子节点统一视为 \(0/2\)。

考虑一个叶子节点改变时会向上影响一段连续的 \(1/2\)，于是考虑维护区间第一个不为 \(1/2\) 的节点编号（splay 内）。

然后修改就相当于 \(1/2\) 的翻转，把需要操作的区间打个标记即可。

间幕 \(2\)

快速进入午休，中午吃了好久没吃的肥牛烤肉饭。

然后就是睡睡睡，下午两点出头苏醒。

开一道 DP，大概想了半小时就去看题解了，主体思路还差不多。

非常神秘的状态以及转移，感觉整个代码量级挺大的。

码完一直 RE，局部变量没赋初值，改完就过了。

怎么这么多弱智错误啊。

\(\color{blueviolet}{P4649}\)

非常仙 DP 题。

题意转化是简单的，求去掉一些非树边使得图中不存在偶环的最小代价。

如果一条边两端点的树上路径长度为奇那么此边必须删掉。

剩余的边会在树上会组成一些奇环，两奇环一旦相交于某条边就会产生一个偶环。

相当于每条非树边会覆盖掉其两端点树上简单路径的树边，要求每条树边至多被选出的非树边覆盖一次。

考虑先全删掉，尽量保留一些代价大的边，对于每条非树边考虑挂在其端点的 LCA 上进行处理。

设 \(f_{i, S}\) 表示节点 \(i\) 子树内，对于 \(\forall x \in S\)，都有边 \((i, x)\) 已经被覆盖的状态下得到的最大代价。

对于挂在点 \(i\) 上的一条非树边 \((u, v)\)，选择其产生的贡献为 \(w + [u \not= i]f_{u, 0} + [v \not= i]f_{v, 0}, \sum \limits_{x \in (u \to v) \land x \not \in \{u, v, i\}} f_{fa_x, \{x\}}\)，\(w\) 为边权，求和部分即去掉链端点和 LCA 的贡献。

对于每一条边都尝试更新一边当前点的 DP 数组，复杂度可以接受。

间幕 \(3\)

速通掉晚饭，点杯奶茶喝喝。

进入到今天的下半场刷题时间，开了到 DP，刚好是往年省选，感觉没咋思考就看题解了，发现不咋难，打了一会就秒了。

\(\color{blueviolet}{P3262}\)

深度只有 \(10\) 的完全二叉树，发现一个叶子结点的贡献只跟祖先节点状态有关，DFS 时枚举祖先状态，这样可以得到叶子结点贡献，再用类似背包的转移上去，复杂度主定理分析或者分析每个节点遍历次数都可以得到是 \(O(4^{n - 1}(n - 1))\) 的，可以接受。

状态是 \(f_{i, j}\) 当前枚举的状态下，节点 \(i\) 子树内选择了 \(j\) 个农民去当兵的最大贡献。

\(\color{royalblue}{P3745}\)

平凡题。

不难发现代价只与最晚发布成绩相关，先预处理每个时间发布成绩学生的不愉悦度，然后从后向前枚举最晚成绩发布时间。

计算贡献只要做前缀和，分别尝试只用 \(2\) 操作和尽量用 \(1\) 再用 \(2\) 调整。

\(\color{blueviolet}{P3746}\)

脑子题。

从组合意义上理解，要求的即从 \(nk\) 个物品中选出 \(x\) 个满足 \(x \mod k = r\)，然后对这个进行一个 DP，设 \(f_{i, j}\) 表示前 \(i\) 个物品中选出个数余数为 \(j\) 的总方案数。

转移方程为 \(f_{i, j} = f_{i - 1, j} + f_{i - 1, (j - 1 + k) \mod k}\)，有初值 \(f_{0, 0} = 1\)。

显然可以用矩阵优化转移，于是就完事了。

尾声

尝试学习欧拉函数相关知识，被击败了，明日再战。