「Log」2023.12.28 小记
序幕
睡多了还是困。
\(\text{6:40}\)：准时到校，补博客，接着做昨天开的题。
题解比较深奥，先打了刷表法的暴力，优化一层之后发现再优化需要填表法，重构了一份出来。
最后前缀和部分看的时候脑子宕机了，卡了好久。
\(\color{blueviolet}{CF1542E2}\)
非常有水平的题。
先枚举相同前缀长度，然后钦定下一位不同，于是问题转化为对于每个 \(i\) 求 \(i\) 阶排列对 \((p, q)\) 的数量，使得 \(p_1 < q_1\) 且 \(\pi(p) > \pi(q)\)。其中 \(\pi(x)\) 为序列 \(x\) 的逆序对数。
设 \(f_{i, j}\) 表示 \(i\) 阶排列 \(\pi(p) - \pi(q) = j\)。转移考虑枚举开头元素 \(p_1, p_2\) 有：
\(f_{i, j} = \sum\limits_{p_1 = 1} ^ {i} \sum\limits_{q_1 = 1} ^ i f_{i - 1, j - p_1 + q_1}\)
值得注意的是下标可能为负，所以做的时候要整体位移一段。
答案即：
\(\sum\limits_{p_1 = 1} ^ i \sum\limits_{q_1 = p_1 + 1} ^ i f_{i - 1, j - p_1 + q_1}\)
发现只关心开头元素差值，考虑枚举差值 \(d = p_1 - q_1\)，则有：
\(f_{i, j} = \sum\limits_{|d| < i} f_{i - 1, j - d} (i - |d|)\)
把 \(d\) 按正负分开：
\(f_{i, j} = \sum\limits_{d = 1} ^ {i} f_{i - 1, j + d} (i - d) + \sum\limits_{d = 0} ^ {i - 1} f_{i - 1, j - d} (i - d)\)
把前半部分拿出来做以下推导：
\(\sum\limits_{d = 1} ^ {i} i f_{i - 1, j + d} - \sum\limits_{d = 1} ^ {i} d f_{i - 1, j + d}\)
\(\sum\limits_{d = 1} ^ {i} (i + j) f_{i - 1, j + d} - \sum\limits_{d = 1} ^ {i} (j + d) f_{i - 1, j + d}\)
然后发现关于第二维做两种前缀和即可，后半部分类似。
\(\color{blueviolet}{AT\_tdpc\_string}\)
纯种 DP。
设 \(f_{i, j}\) 表示前 \(i\) 种字符加入后，有 \(j\) 对相邻相同字符的方案数。
新加入的字符有以下三种功能：
-
拆开以前相邻的相同字符。
-
两个组成一对相邻字符。
-
什么也不干。
贡献用组合数计数是简单的，直接暴力枚举上述三种字符数量进行 DP，注意上下界以及初值问题即可。
间幕 \(1\)
中午点了麻辣拌吃。
味道还行，但感觉体验就是一般，近几天应该都不会点了。
下午先补一道上午的题，然后接着做 DP。
\(\color{royalblue}{CF1312D}\)
没啥水平题，一眼秒了。
先确定数字发现分组是简单的，相当于每个数字可以在左或右，最大值以及两个相同元素位置是固定的，也就是有 \(2^{n - 3}\) 种方案。
考虑选数，先从 \(m\) 个中选出 \(n - 1\) 个数，再从 \(n - 1\) 个数中去掉最大值再选一个数，贡献即 \(n - 2\)。
有答案：
\(2 ^ {n - 3} \times \dbinom{m}{n - 1} \times (n - 2)\)
\(\color{blueviolet}{CF67C}\)
挺好玩的性质题。
DP状态是显然的，\(f_{i, j}\) 表示 \(a\) 串匹配前 \(i\) 个字符，\(b\) 串匹配前 \(j\) 个字符的最小代价。
前三个操作的转移是显著的，考虑第四个操作以及其代价限制起什么作用。
连续的交换不如添加和删除，唯一可以起到的作用是交换两个数，可以考虑删除中间一段，交换两头的字符，再添加中间的一段。
具体的来讲，假设现在正在处理 \(a_i, b_j\)，设 \(b_j\) 最后一次出现在 \(a_1 \sim a_i\) 中的 \(x\) 位置，\(a_i\) 出现在 \(b_1 \sim b_j\) 的 \(y\) 位置，则我们先令 \(a_1 \sim a_{x - 1}\) 与 \(b_1 \sim b_{y - 1}\) 匹配好，然后删除 \(a_{x + 1} \sim a_{i - 1}\)，交换后再添加 \(b_{y + 1} \sim b_{j - 1}\)，转移是简单的。
\(\color{black}{P2605}\)
状态非常显然，\(f_{i, j}\) 表示第 \(i\) 个点选定为基站，并且总共建了 \(j\) 个基站的最小代价（只考虑前 \(i\) 个），然后就是很裸的线段树优化 DP 转移。
尾声
下班，睡觉。
