「Log」2023.12.18 小记
序幕
\(\text{6:40}\)：准时到校，昨晚睡得很香。
简单收拾了下机房，把自己带进来的泥脚印擦干净了。
配置了下新耳机，整理整理博客准备打题。
和同学稍微聊了一下昨天的 THUPC，我在会考所以没能打，太可惜。
边吃饭边看题（CF121E）。
感觉可以维护一个差的贡献，但是需要重构。
后来考虑到合法数字个数很有限，觉得可以对每个数字分别维护个什么，但实际上没啥用。
其实把上面两条连起来就可以得到正解了，可惜没想到。
\(\color{blueviolet}{CF121E}\)
看题解之后选择了一种较为优异的写法。
树状数组维护每个位置是否是合法数字，区间修改直接暴力修改，发现此处的值贡献有变再用树状数组进行修改，枚举的复杂度是巨大的，但考虑到每个数递增，并且合法数字数量不多，所以修改次数是少量的，总复杂度大概 \(10^9\) 出头，常数很小，跑得飞快。
\(\color{blueviolet}{CF429C}\)
按子树大小从大到小枚举合法父亲进行搜索，复杂度是阶乘级别，无法接受。
发现子树大小为 \(1\) 的节点父亲是谁都无所谓，所以不用枚举，并且根据题目中“非叶子节点子节点个数至少为 \(2\)”这条性质可以得到叶子节点个数超过一半，复杂度降为 \(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor !\)，可以接受。
\(\color{blueviolet}{CF1394D}\)
首先转化题意，相当于对于每个边选定其方向，然后合并合法路径减小总代价。
考虑没有 \(b_i = b_j \quad (i \not= j)\) 情况，也就是说相邻点对的大小关系是固定的。此时对于任意边 \((u, v) \quad (b_u < b_v)\)，都钦定方向 \(u \to v\) 是最优的。（或者都钦定为 \(v \to u\)，这两种方式等价，此题解中采用 \(u \to v\)。）此时一个点 \(u\) 贡献的代价 \(val_u\) 为 \(\max \{ d0_i, d1_i \} \times a_u\)，其中 \(d0_u, d1_u\) 分别表示其入度和出度。总代价即所有点代价之和。
重新考虑原问题，我们设 \(f_{i, 0/1}\) 表示节点 \(i\) 子树内，在 \((i, fa_i)\) 这条边被钦定为向上/向下的最小代价。假设现在正在处理节点 \(u\)，对于 \(b_v \not= b_u\) 的子节点 \(u\) 的贡献是固定的，我们只需要考虑 \(b_v = b_u\) 的贡献。我们先钦定这些边都是向上的，即 \(v \to u\)，接下来的问题就是从这些子节点中挑一些将其钦定为 \(u \to v\)，使得总代价最小。调整一个点对于 \(a_u\) 的数量贡献是固定的，于是我们贪心地优先调整 \(f_{u, 1} - f_{u, v}\) 较小的点。
考虑记录所有的 \(b_u = b_v\) 的 \(v\)，将其按照 \(f_{u, 1} - f_{u, v}\) 从小到大排序，每次调整贡献并尝试更新。
特别地，考虑 \(f_{u, 0}\) 使 \(u\) 的出度加一，\(f_{u, 1}\) 使 \(u\) 的入度加一，这考虑的是边 \((u, fa_u)\) 被钦定的方向，如果 \(b_u \not= b_v\)，那么 \(0/1\) 状态中只有一个会被使用。
设 \(T_u\) 表示 \(u\) 的子树，\(T0_u\) 表示被钦定为 \(v \to u\) 的点 \(v\) 的集合，\(T1_u\) 表示被钦定为 \(u \to v\) 的点 \(v\) 的集合（向上/向下连边的两个子节点集合），于是有以下形式化的转移：
以上式子中的 \(\left[u \not= 1\right]\) 表示以 \(1\) 为根进行 DP 时，其没有父节点，也就不存在与父节点连边的那个度数。
\(\color{blueviolet}{CF1101F}\)
用到了一个奇妙 Trick。
对于每辆车可以考虑二分油箱容量，进行贪心验证，每次不能走了就加油，最后判断加油次数是否小于限制即可。
如果暴力二分是 \(nm\log V\) 的，不太能接受，发现其中有一些答案是无用的，比如前 \(i - 1\) 辆卡车的答案为 \(ans\)，第 \(i\) 辆卡车在 \(ans\) 的情况下合法，我们就无需计算 \(i\) 的答案。
这样有了一些小剪枝，但发现当答案单调上升的时候复杂度仍然会卡到上界，考虑随机化优化一下。
有如下结论：对于长度为 \(n\) 的随机序列，前缀最大值的个数为 \(O(\log n)\)。
证明是简单的。对于一个排名为 \(x\) 的数字，需要保证所有比它大的数字都要出现在其后面，则其为一个前缀最大值。我们将排名依次为 \(x, x + 1, \dots , n\) 的数字作为一个子序列拿出来，\(x\) 为前缀最大值的概率等价为 \(x\) 在这个子序列中是第一个数的概率，所以有其概率为 \(\frac{1}{n - x + 1}\)。期望个数即 \(\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}\)，积分后可以得到是 \(O(\log n)\) 的。
所以我们对于每辆卡车随机赋权值，并按照权值排序，这样得到的前缀答案最大值期望个数为 \(O(\log m)\)，所以总期望复杂度为 \(O(n \log m \log V + m\log V)\)，可以接受。
CF 1913
ABC 上来没多久就都切了，冲 D 题。
感觉是个 DP，随便写了个，假了。
有点后效性在里面的，改了一下感觉差不多，需要一个三维偏序，写了个树套树。
调不出来发现多测清空有毛病，似了。
调出来之后发现假了，耻辱下播。
尾声
沉睡。
