「Log」2023.10.27 小记
序幕
\(\text{6:50}\)：到校，早上稍微墨迹了一小会。
一直不会的某个结论差不多会证明了，先写一下题再写写题解。
\(\color{blueviolet}{CF1495D}\)
此题是好题。
考虑对于 \(x\) 和 \(y\) 共同的生成树一定包含两者的最短路径。
先假设 \(x, y\) 最短路径有且只有一条，考虑其上一点 \(z\)，\(x, y\) 两者中一者到其最短路径依然有且只有一条，为了满足 \(dis(x, z), dis(y, z)\) 不变，必须保留此最短路。
当 \(x, y\) 最短路径不止一条时，对于这两条路径上的点依然需要满足上述 \(z\) 的条件，因此多条最短路都需要保留，此时一定会成环，无法保持树的形态，也就一定无解。
现在对于 \(x, y\) 两点已有一条唯一的链链接，考虑其他点如何挂在树上。对于一个点 \(u\) 有边 \((u, v)\)，若保留此边（使得 \(v\) 为 \(u\) 的父节点）必须满足 \(dis(x, v) + 1 = dis(x, u) \land dis(y, v) + 1 = dis(y, u)\)。所以我们对于一个点找出其合法父节点个数，对所有的点乘法原理计数即可。
间幕 \(1\)
找了到 2700 的瞅了瞅，感觉做不出来就直接看题解了，莫队倒是想到了点，就是没想到能卡过去。
这个神秘的单 \(\log\) 算法是真想不出来。
刷了会手机，\(\text{8:20}\) 接着做题。
\(\color{blueviolet}{CF1511G}\)
此题是神仙题。
首先转化问题，对于一个询问只要判断 \(\bigoplus \limits _{l \le c_i \le r} c_i - l\) 是否等于 \(0\) 即可。
设 \(f_{i, j}\) 表示 \(\bigoplus \limits _{i \le c_i \le i + 2 ^ j - 1} c_i - i\)，考虑如何倍增转移。
\(f_{i, j}\) 由 \(f_{i, j - 1}\) 与 \(f_{i + 2 ^ {j - 1} - 1, j - 1}\) 两部分组成，前者的异或和可以直接转移过来，后者包括的元素每个会与需要的值相差 \(2 ^ {j - 1}\)，所以需要额外异或上后者元素个数个 \(2 ^ {j - 1}\)，只需要通前缀和维护一下区间元素个数即可。
求答案也是类似的，倍增逼近即可。
\(\color{blueviolet}{CF1510B}\)
此题是坏题，它让你输出方案。
首先考虑转化问题，进行简单图论建模，每个状态向可以达到的状态连边，于是得到一张 DAG。
首先考虑最劣情况，对于每一个点单独成为一条路径进行覆盖，贡献是其二进制下 \(1\) 的个数。每一个点可以选择一个出边把自己贡献抵消掉，这个就类似二分图最大匹配，费用流即可。
间幕 \(1\)
午休，中午还吃鱼丸饭，西红柿炒蛋真的太好吃啦！
下两把棋，打会块，然后小睡一会。
两点多苏醒接着做题。
\(\color{blueviolet}{CF1539F}\)
此题是坏题，第一遍打假了。
我们只考虑 \(a_i\) 大于中位数的情况，另一情况可以通过取负反转数组取到相同情况，式子只有一个加减 \(1\) 不同。
区间固定时贡献是 \(\frac{t_l + t_m + t_r}{2} - t_r = \left \lfloor \frac{t_l + t_m - t_r}{2} \right \rfloor\)。
其中 \(t_l, t_m, t_r\) 分别表示小于、等于、大于 \(a_i\) 的 数字个数。
然后运用到一个套路，对于这种中位数的东西离线并从小到大遍历数字，比自己小的设为 \(-1\)，比自己大的设为 \(1\)，求一下以 \(i\) 结尾的后缀最大、以其开头的前缀最大，求和即可。
间幕 \(2\)
和 iazm 出去逛逛，在操场上瞎聊天，溜达了半小时，回来吃饭，一直墨迹到 \(19:00\)，写题写题。
发现任务里的 2600 快写完了，只剩 2700，悲伤的。（虽然我没觉得两者差距很多，反正大部分我都不会做。）
\(\color{blueviolet}{CF1469F}\)
首先注意到先挂长链更优，并且将中点挂在树上是更优的，可以使得整体深度更小。
设 \(fa\) 为链挂在上面的点，则会使得深度为 \(dep_{fa}\) 的点减少一个，并增加连续深度的两段点数，用线段树维护即可，注意分讨奇偶即可，以及注意空间。
尾声
看了一道 2700，就下班了。
回家打会游戏后直接昏迷。
