「Note」数论方向 - 数论基础

0. 前置知识

0.1. 费马小定理

\[a ^{p-1}\equiv1\pmod p(p\in\mathbb P,a\perp p) \]

由此可以推出模意义下乘法逆元：

\[a ^{-1}\equiv a ^{p-2}\pmod p(p\in\mathbb P,a\perp p) \]

0.2. 威尔逊定理

\[(p - 1)!\equiv -1\pmod p(p\in\mathbb P) \]

0.3. 线性筛

1. 扩展欧几里得算法

1.1. 简介

扩展欧几里得算法用于求 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的一组特解（整数解）。
推导如下：
设 \(\begin{cases}ax_1+by_1=\gcd(a,b)\\bx_2+(a\mod b)y_2=\gcd(b,a\mod b)\end{cases}\)
由欧几里得算法可知 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\mod b)\)。
联立有：

\[ax_1+by_1=bx_2+(a\mod b)y_2 \]

\[ax_1+by_1=bx_2+(a-\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor\times b)y_2 \]

\[ax_1+by_1=ay_2+b(x_2-\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor\times y_2) \]

可得：

\[\begin{cases}x_1=y_2\\y_1=x_2-\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor\times y_2\end{cases} \]

最后在求 \(\gcd\) 的过程中求解 \(x,y\) 即可。

1.2. 常见技巧

1.2.1. 二元一次不定方程通解

对于 \(ax+by=c\) 这种一元二次不定方程，由裴蜀定理可知，当 \(\gcd(a,b)\nmid c\) 时，此方程无整数解。
当有整数解时，我们将其转化为 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的形式，然后用扩展欧几里得算法求解。
我们设扩展欧几里得算法求出的解为 \(X,Y\)，\(ax+by=c\) 方程所求的一组特解为 \(x',y'\)，有：

\[\begin{cases}x'=\dfrac{Xc}{\gcd(a,b)}\\y'=\dfrac{Yc}{\gcd(a,b)}\end{cases} \]

因为 \(ax'\) 与 \(by'\) 的和恒为 \(c\)，有：

\[a(x'+db)+b(y'-da)=c \]

其中，我们要保证 \(x'+db,y'-da\) 均为整数，取得最小变化量：

\[\begin{cases}d_x=\dfrac{b}{\gcd(a,b)}\\d_y=\dfrac{a}{\gcd(a,b)}\end{cases} \]

最后得出通解形式：

\[\begin{cases}x=x'+sd_x\\y=y'+sd_y\end{cases} \]

接下来是关于正整数解的内容。
限制 \(x,y>0\)，解得：

\[\left\lfloor\dfrac{-x'+1}{d_x}\right\rfloor\le s\le\left\lceil\dfrac{y'-1}{d_y}\right\rceil \]

至此，我们可以判断正整数解个数。当 \(s\) 取极值时，我们也可求出 \(x,y\) 的极值。

1.3. 例题

咕咕咕

2. 欧拉函数（施工中）

2.1. 基本定义与性质

约定：
以下讨论均基于正整数域。

欧拉函数 \(\varphi(n)\) 表示 \([1,n]\) 范围内与 \(n\) 互质的数的个数。

有定义式： \(\varphi(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}[\gcd(n,i)=1]\) 。

有计算式：设 \(n\) 被唯一分解为 \(\prod\limits_{i=1}^mp_i^{c_i}\)（\(p_i\) 为质数），\(\varphi(n)=n\times\prod\limits_{p_i}^m\left(1-\dfrac1{p_i}\right)\)。

证明：

先假设 \(m=2\)，可以写出式子并因式分解： \(\varphi(n)=n-\frac{n}{p_1}-\frac{n}{p_2}+\frac{n}{p_1p_2}=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\)。

进一步地，可将式子推广为\(\varphi(n)=n\times\prod\limits_{p_i}^m\left(1-\dfrac1{p_i}\right)\)。

int phi(int x) {
    int res = x;
    for (int i = 2; i * i <= x; i++)
        if (x % i == 0) {
            while (x % i == 0)
                x /= i;
            res = res / i * (i - 1);
        }
    return res / x * max(1, x - 1);
}

性质 \(1\)（积性）：若 \(a\perp b\)，则 \(\varphi(ab)=\varphi(a)\times\varphi(b)\)。

\(a\perp b\) 即 \(\gcd(a,b)=1\)，表示 \(a,b\) 互质。
积性函数：当 \(a\perp b\) 时，有 \(f(ab)=f(a)\times f(b)\)，则称函数 \(f(x)\) 为积性函数。
完全积性函数：任意条件下有 \(f(ab)=f(a)\times f(b)\)，则称函数 \(f(x)\) 为完全积性函数。

证明：
设 \(a=\prod\limits_{i=1}^{m_a}p_i^{c_i},b=\prod\limits_{i=1}^{m_b}q_i^{c_i}\)，因为 \(a\perp b\)，有 \(p_i\not=q_j\)，故 \(ab=\prod\limits_{i=1}^{m_a}p_i^{c_i}\times\prod\limits_{i=1}^{m_b}q_i^{c_i}\)，由计算式得出：

\[\varphi(ab)=ab\times \prod\limits_{i=1}^{m_a}\left(1-\dfrac1{p_i}\right)\times\prod\limits_{i=1}^{m_b}\left(1-\dfrac1{q_i}\right)=\varphi(a)\times\varphi(b) \]

性质 \(2\)：对于质数 \(p\)，有 \(\varphi(p)=p-1,\varphi(p^k)=(p-1)\times p^{k-1}\)。

证明：
对于 \(\varphi(p)=p-1\)，由质数定义易知。
对于 \(\varphi(p^k)=(p-1)\times p^{k-1}\)，考虑所有不是 \(p\) 的倍数的数都与 \(p^k\) 互质，有 \(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=(p-1)\times p^{k-1}\)。

性质 \(3\)：若 \(a\mid b\)，则 \(\varphi(ab)=a\times\varphi(b)\)。

证明：
将两者拆分，代入 \(\varphi(ab),\varphi(b)\) 计算式，对比结果可得此性质。
换一种理解方式，\(ab\) 相对 \(b\) 并没有增加质因子，所以与 \(b\) 互质的数仍然与 \(b\) 互质，整个过程看做将值域扩展到 \([1,ab]\)，其中与 \(b\) 互质个数显著为 \(a\varphi(b)\)，因为与 \(b\) 互质的数加上 \(kb(k\in\Z)\) 后仍然与 \(b\) 互质。

性质 \(4\)：若 \(p\) 为质数且 \(p\mid n\)，则有：

\[\varphi(n)=\begin{cases}p\times\varphi(\frac n p)\quad&(p^2\mid n)\\(p - 1)\times\varphi(\frac n p)&(p^2\nmid n)\end{cases} \]

性质 \(5\)：\(\forall n>1\)，\([1,n]\) 中与 \(n\) 互质的数字和为 \(\frac{n\times\varphi(n)}{2}\)。

证明：
有 \(\gcd(n,x)=gcd(n,n-x)\)，所以 \([1,n]\) 中与 \(n\) 互质的数成对出现，并且平均值为 \(n/2\)，可得出此结论。

性质 \(6\)：若 \(a\mid b\)，则 \(\varphi(a)\mid\varphi(b)\)。

证明：
由计算式得到，是显著的。

2.2. 欧拉定理