「Note」数论方向 - 组合数学
1. 容斥原理
1.1 介绍
解决集合内计数问题。
\(S\) 为集合编号集合。
\[\left | \bigcup_{i\in S}A_i \right | =\sum_{T\subseteq S\wedge T\ne \varnothing}^{n}(-1)^{(\left | T \right | -1)}\left | \bigcap_{j\in T}A_j \right |
\]
1.2 咕咕咕
2. 卡特兰数
解决很多问题。
递推式：
\[C_i=\begin{cases}1&i=0\\ {\sum_{j=0}^{i-1}(C_j\times C_{i-j-1})}&i\ne 1\end{cases}
\]
\[C_i=\frac{C_{i-1}\times(4n-2)}{n+1}
\]
通项公式：
\[C_i=\frac{\dbinom{2n}{n}}{n+1}
\]
