「Note」DP 方向 - DP 优化

1. 单调队列优化 DP

1.1. 简介

当一个选手比你小还比你强，你就打不过他了。这是对单调队列简单形象的概括。

单调队列在转移的过程中不断排除不可能成为决策点的元素，使每次转移寻找决策点的时间复杂度降为 $O(1)$。一般地，可被单调队列优化的转移式可被写为如下形式：

$$F_i=\underset{l_i\le j<i}{max}\{F_j+A_j+B_i\}$$

$$（F_i=\underset{l_i\le j<i}{min}\{F_j+A_j+B_i\}）$$

其中需要满足 $l_i$ 单调不降，$A_i$ 是只与 $i$ 有关的变量，$B_j$ 是只与 $j$ 有关的变量。

不难发现单调队列要维护的是 $F_i+A_i$，每次 $j1$ 入队时，若满足 $F_{j1}+A_{j1}>F_{j0}+A_{j0}$ 则将 $j0$ 弹出，直到不满足条件或者队列为空。

此时取队头元素，它一定满足在范围内最优，将其作为决策点即可。特殊地，有时需要特判队列为空的情况。

1.2. 常见技巧

大部分情况下，转移方程并不显著，因为在其中的贡献往往与 $i,j$ 都有关，此时尝试将贡献转化为 $A_j+B_i$ 的形式，然后在单调队列中维护 $F_i+A_i$ 即可。

1.3. 例题

$P1776$（单调队列优化多重背包）

$v_i$	$w_i$	$c_i$	$F_{i,j}$
物品 $i$ 的体积	物品 $i$ 的价值	物品 $i$ 的个数	前 $i$ 个物品放入总体积为 $j$ 的物品的最大价值

显著地，有以下转移方程：

$$F_{i,j}=\underset{0\le k\le c_i\wedge k\times v_i\le j}{max}\{F_{i-1,j-k\times v_i}+k\times w_i\}$$

设 $j^{\prime }=j-k\times v_i$，在保证 $i$ 不变的情况下，分别考虑每个 $j^{\prime }$ 对 $j$ 的贡献，此时有 $k=\frac{j-j^{\prime }}{v_i}$。此时 $j,j^{\prime }$ 在 $mod{v}_i$ 的意义下同余，设 $j=t\times v_i+r$ 其中 $0\le r<v_i$，考虑将贡献拆分有 $j^{\prime }=j-k\times v_i,k=\lfloor \frac{j}{v_i}\rfloor -\lfloor \frac{j^{\prime }}{v_i}\rfloor =t-\lfloor \frac{j^{\prime }}{v_i}\rfloor$，将原方程改写：

$$F_{i,j}=\underset{0\le k\le min\{c_i,t\}}{max}\{F_{i-1,j-k\times v_i}-\lfloor \frac{j^{\prime }}{v_i}\rfloor \times w_i\}+t\times w_i$$

不难想到在枚举 $r$ 的基础上，枚举 $j$ 进行单调队列优化。

$\text{Code}$：

#define LL long long
#define UN unsigned
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//--------------------//
const int N=1e5+1;

int n,V;
int v[N],w[N],c[N];

int ans,f[N];

int head,tail;
int q[N][2];
//--------------------//
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&V);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d%d",&w[i],&v[i],&c[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int r=0;r<v[i];r++)
        {
            head=tail=1;
            q[1][0]=r,q[1][1]=f[r];
            for(int tem,t,j=r+v[i];j<=V;j+=v[i])
            {
                tem=f[j]-j/v[i]*w[i],t=j/v[i];
                while(head<=tail&&q[head][0]<j-c[i]*v[i])
                    head++;
                f[j]=max(f[j],q[head][1]+t*w[i]);
                while(head<=tail&&q[tail][1]<tem)
                    tail--;
                q[++tail][0]=j,q[tail][1]=tem;
            }
        }
    for(int i=1;i<=V;i++)
        ans=max(ans,f[i]);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

$P3089$

$x_i$	$p_i$	$F_{i,j}$	$no{w}_i$
目标点 $i$ 的坐标	目标点 $i$ 的分数	跳至目标点 $i$，上一个目标点是 $j$ ，所能获得的最大分数	当前单调队列还未加入的最近位置

先考虑单方向的做法，显著地，按照 $x_i$ 排序后有以下转移方程：

$$F_{i,j}=\underset{x_i-x_j\ge x_j-x_k}{max}\{F_{j,k}\}+p_i$$

我们发现当 $i$ 固定时并不能直接用单调队列优化，因为维护的 $max$ 中存在两个不固定值 $j,k$。考虑固定 $j$，当 $i$ 上升时，$k$ 的范围单调不减，此时可以用单调队列维护。

对于每一个 $j$ 维护一个单调队列，用 $no{w}_j$ 记录还未进队的最近位置，每次枚举 $i$ 时，将符合条件的 $k$ 入队，并更新 $no{w}_j$。

至于向另一方向跳的情况，将数轴左右翻转再做一遍 DP 即可。

$P4544$

$ka$	$e$	$x_i$	$c_i$	$v_i$	$f_{i,j}$
需要饲料总数	中点坐标	商店 $i$ 坐标	商店 $i$ 库存	商店 $i$ 价格	走到商店 $i$ 经过交易后得到 $j$ 个饲料的最小消费

先按照 $x_i$ 排序，显著地，转移方程：

$$F_{i,j}=\underset{j-c_i\le k<j}{min}\{f_{i-1,k}+(x_i-x_{i-1})\times k^2+(j-k)\times v_i\}$$

将其转化：

$$F_{i,j}=\underset{j-c_i\le k<j}{min}\{f_{i-1,k}+(x_i-x_{i-1})\times k^2+k\times v_i\}+j\times v_i$$

显著的单调队列。其中需要注意的是初值的设置以及转移的始末位置。

x. 前置知识 决策单调性

x.1. 简介

决策单调性是一个优秀的性质，对于具有决策单调性的动态规划可以采用很多方法进行优化。

通常地，决策单调性体现在 1D 维度上。当 $j<j^{\prime }<i<i^{\prime }$ 时，若 $F_i$ 从 $F_{j^{\prime }}$ 转移过来，那么 $F_i^{\prime }$ 不可能从 $F_j$ 转移过来，只可能从 $F_j^{\prime }$ 或之后的状态转移。这种性质可称之为决策单调性。

x.2. 四边形不等式

四边形不等式如下，在 $a<b<c<d$ 的情况下 $w(a,d)+w(b,c)>w(a,c)+w(b,d)$。

设 $F_i$ 由 $F_j+w(i,j)$ 转移来，若满足四边形不等式则称其具有决策单调性。

证明略，待施工。

2. 斜率优化

2.1. 简介

当一个最优化 DP 的转移方程形如：

$$F_i=min\{F_j+A_i+B_j+a_i\times b_j\}$$

$$(F_i=max\{F_j+A_i+B_j+a_i\times b_j\})$$

即其中有一些只关于 $i,j$ 其中一个的项和一个关于 $i,j$ 两个变量的项，可以考虑用斜率优化来解决。

先对原式进行化简。设 $F_i$ 由 $F_j$ 转移过来，有 $F_i=F_j+A_i+B_j+a_i\times b_j$，移项得:

$$F_j+B_j=-a_i\times b_j+(F_i-A_i)$$

设 $y=F_j+B_j,x=b_j,k=a_i,b=A_i-F_i$，当 $i$ 固定时，我们得到了一个 $k$ 固定的一次函数，使其经过不同的 $(x,y)$（与 $j$ 有关），可以得到不同的截距 $b$（与 $F_i$ 有关），其中取截距最大或最小，可以得到 $F_i$ 的最大或最小值，因题而异。

具体地，我们维护一个凸包，取一次函数与切点为决策点。

2.2. 常见技巧