算法总结之几何模板
一 几何公式
三角形:
1. 半周长 P=(a+b+c)/2
2. 面积 S=aHa/2=absin(C)/2=sqrt(P(P-a)(P-b)(P-c))
3. 中线 Ma=sqrt(2(b^2+c^2)-a^2)/2=sqrt(b^2+c^2+2bccos(A))/2
4. 角平分线 Ta=sqrt(bc((b+c)^2-a^2))/(b+c)=2bccos(A/2)/(b+c)
5. 高线 Ha=bsin(C)=csin(B)=sqrt(b^2-((a^2+b^2-c^2)/(2a))^2)
6. 内切圆半径 r=S/P=asin(B/2)sin(C/2)/sin((B+C)/2)
=4Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)=sqrt((P-a)(P-b)(P-c)/P)
=Ptan(A/2)tan(B/2)tan(C/2)
7. 外接圆半径 R=abc/(4S)=a/(2sin(A))=b/(2sin(B))=c/(2sin(C))
四边形:
D1,D2为对角线,M对角线中点连线,A为对角线夹角
1. a^2+b^2+c^2+d^2=D1^2+D2^2+4M^2
2. S=D1D2sin(A)/2
(以下对圆的内接四边形)
3. ac+bd=D1D2
4. S=sqrt((P-a)(P-b)(P-c)(P-d)),P为半周长
正n边形:
R为外接圆半径,r为内切圆半径
1. 中心角 A=2PI/n
2. 内角 C=(n-2)PI/n
3. 边长 a=2sqrt(R^2-r^2)=2Rsin(A/2)=2rtan(A/2)
4. 面积 S=nar/2=nr^2tan(A/2)=nR^2sin(A)/2=na^2/(4tan(A/2))
圆:
1. 弧长 l=rA
2. 弦长 a=2sqrt(2hr-h^2)=2rsin(A/2)
3. 弓形高 h=r-sqrt(r^2-a^2/4)=r(1-cos(A/2))=atan(A/4)/2
4. 扇形面积 S1=rl/2=r^2A/2
5. 弓形面积 S2=(rl-a(r-h))/2=r^2(A-sin(A))/2
棱柱:
1. 体积 V=Ah,A为底面积,h为高
2. 侧面积 S=lp,l为棱长,p为直截面周长
3. 全面积 T=S+2A
棱锥:
1. 体积 V=Ah/3,A为底面积,h为高
(以下对正棱锥)
2. 侧面积 S=lp/2,l为斜高,p为底面周长
3. 全面积 T=S+A
棱台:
1. 体积 V=(A1+A2+sqrt(A1A2))h/3,A1.A2为上下底面积,h为高
(以下为正棱台)
2. 侧面积 S=(p1+p2)l/2,p1.p2为上下底面周长,l为斜高
3. 全面积 T=S+A1+A2
圆柱:
1. 侧面积 S=2PIrh
2. 全面积 T=2PIr(h+r)
3. 体积 V=PIr^2h
圆锥:
1. 母线 l=sqrt(h^2+r^2)
2. 侧面积 S=PIrl
3. 全面积 T=PIr(l+r)
4. 体积 V=PIr^2h/3
圆台:
1. 母线 l=sqrt(h^2+(r1-r2)^2)
2. 侧面积 S=PI(r1+r2)l
3. 全面积 T=PIr1(l+r1)+PIr2(l+r2)
4. 体积 V=PI(r1^2+r2^2+r1r2)h/3
球:
1. 全面积 T=4PIr^2
2. 体积 V=4PIr^3/3
球台:
1. 侧面积 S=2PIrh
2. 全面积 T=PI(2rh+r1^2+r2^2)
3. 体积 V=PIh(3(r1^2+r2^2)+h^2)/6
球扇形:
1. 全面积 T=PIr(2h+r0),h为球冠高,r0为球冠底面半径
2. 体积 V=2PIr^2h/3
二 几何模板
1.Point结构体
1 struct point 2 { 3 double x; 4 double y; 5 }
2.叉乘：
1 /*p0为公共点*/ 2 double xmult(Point p1,Point p2,Point p0){ 3 return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y); 4 }
3.两点距离：
1 double dis(point p1,point p2){ 2 return sqrt((p1.x-p2.x)*(p1.x-p2.x)+(p1.y-p2.y)*(p1.y-p2.y)); 3 }
4.Graham算法求凸包时点的排序cmp：
1 bool cmp(point a,point b) 2 { 3 if (CrossMul(a,b,p[1])>0 || 4 (CrossMul(a,b,p[1])==0&&dis(a,p[1])<dis(b,p[1]))) return true; 5 return false; 6 }
5.凸包：1)两点的最远距离2)面积3)周长
1 int main() 2 { 3 int n,i,j,top; 4 while (cin>>n) 5 { 6 for (i=1; i<=n; i++) 7 { 8 cin>>p[i].x>>p[i].y; 9 if (p[i].y<p[1].y||(p[i].y==p[1].y && p[i].x<p[1].x)) 10 swap(p[1],p[i]); 11 } 12 sort(p+2,p+n+1,cmp); 13 top=0; 14 q[++top]=p[1]; 15 q[++top]=p[2]; 16 for (i=3; i<=n; i++) 17 { 18 while (top>1 && CrossMul(q[top],p[i],q[top-1])<0) top--; 19 q[++top]=p[i]; 20 } 21 /*凸包直径*/ 22 int max=INT_MIN; 23 for (int i=1;i<=top;i++) 24 for (int j=1;j<i;j++) 25 max=max>dis_2(q[i],q[j])?max:dis_2(q[i],q[j]); 26 printf("%d\n",max); 27 /*凸包面积*/ 28 int area=0; 29 for (int i=2;i<=top;i++) 30 area+=CrossMul(q[i],q[i+1],q[1]); 31 printf("%d\n",abs(area)); 32 /*凸包周长*/ 33 double sum=dis(q[1],q[2]); 34 for (i=3; i<=top; i++) 35 sum+=dis(q[i],q[i-1]); 36 sum+=dis(q[1],q[top]); 37 printf("%d",sum); 38 } 39 return 0; 40 }
（未完待续）
