摘要：
为数不多不用多项式科技的单位根反演题。 $A$ 不降比较难搞，所以首先令 $B_i=A_i+i-1$，则 $B$ 单调递增。转化为对任意的 $k\in [0,\text{MOD}-1]$，求在 $[0,N+M-1]$ 中选 $N$ 个**不同**的数，总和对 $\text{MOD}$ 取模为 $k$ 阅读全文
摘要：
煎蛋提。 不妨令 $g(i)=(-1)^{f(i)}$，由 $f(i)$ 的和性不难推出 $g(i)$ 为**完全积性函数**，因此可以考虑杜教筛。 考察 $g(n)$ 和恒等函数 $I(n)=1$ 的卷积 $g*I$，不难发现 $(g*I)(p^k)=\sum\limits_{i=0}^kg(p^ 阅读全文
摘要：
题目中说 $n$ 个点的无向完全图有 $\frac{n!}{2}$ 条哈密顿路径。如果我们考虑方向（即每条路径钦定起点终点）的话，一共就有 $n!$ 条了，因为一条路径 $(u,v)$ 可以钦定 $u\to v$ 或 $v\to u$。为了方便符号表达，**以下都按照哈密顿路径数为 $n!$ 即路径 阅读全文
摘要：
先考虑只能放**整点**的情况，不难想到考虑 dp。 对于环上的 dp，考虑**断环成链**，即钦定一条线段的左端点为**起点**。这里我们令长度**最长**的线段的左端点为环的起点。 这样做有一个好处：我们不用考虑**一条线段把环末尾覆盖再覆盖开头的空**的情况，而当我们钦定一个长度较小的线段作为 阅读全文
摘要：
考虑一个**横向**单调数列 $a<b<c$ 如何形成，我们**从小到大**填数，填到 $b$ 时，假设 $b$ 填在 $(x,y)$ 处：若 $(x,y-1),(x,y+1)$ 两个格子上**恰有一个位置有值**就寄了。纵向的单调数列类似。 于是填数的过程中，我们只关心每个格子上有/没有数。如果这 阅读全文
摘要：
应该是最简单的做法，同时也是 AT 官方题解做法。 考虑计算 $\min\sum\limits_{1\le i\le j\le n}|a_i-a_j|$，乘二即为答案。 考虑 $n$ 个线段中使 $l_x$ 最大的 $x$ 以及使 $r_y$ 最小的 $y$。 - 若 $l_x\le r_y$，那么 阅读全文
摘要：
一个 $O(n^3\log n)$ 的做法。 我们考虑枚举在环上连向外部的那个点 $u$，然后再在点集 $\{1,2,\cdots u-1,u+1,\cdots n-1,n\}$ 的导出子图中跑 Floyd，枚举 $u$ 在环上相邻的两个点 $x,y$，答案就是 $d_{x,y}+w_{x,u}+w 阅读全文
摘要：
拉插优化 dp 在卷怪们眼里已经变成套路了吗，害怕。 考虑一个 dp 的推。设 $f_{u,i}$ 表示 $u$ 子树中填 $[1,i]$ 符合题目条件的方案数，此时不强制 $u$ 选 $i$，所以有： $$f_{u,i}=f_{u,i-1}+\prod\limits_{v\in \text{son 阅读全文
摘要：
### Description 给定 $N,M$，求对于所有 $N$ 个点的，满足恰有 $M$ 条从小连向大的边，即 $\sum\limits_{(u,v)\in E}[u 给竞赛图每个 SCC （强连通分量）缩点后，剩下的是由一条**极长**的链与某些前向边组成的图。 于是 SCC 的数量能够转换 阅读全文
摘要：
参考官方题解。 你发现这个覆盖不太好考虑，考虑时间倒流，变成如下形式： > 一开始，小 A 的位置上有一个数 $a_n$，然后对于接下来 $n-1$ 步，每次小 A 可以向左走/向右走/不动，然后如果此时小 A 所站的位置上**没有数**，就写上 $a_i$，求最后形成序列的最长上升子序列长度。 考 阅读全文