NAPC-#1 rStage5 - Hard Conveyors

这个人赛时只过了这题，但是同学 @sinsop90 赛时只没过这题，怎么会是呢？

考虑到 \(s,t\) 之间路径必须经过关键点，假设这个关键点为 \(k\)，那么路径形式一定是 \(s\to k\to t\)（废话）。

画一下图发现这条路径的长度等于 \(s\to t\) 的简单路径长度加上 \(k\) 挂到 \(s\to t\) 简单路径这条链上所经过的路径长度的 \(2\) 倍。

即：

考虑 \(1\to 7\to 9\) 这条路径，其长度相当于 \(1\to 2\to 4\to 9\) 简单路径长度加上 \(7\to 3\to 2\) 这条路径长度的 \(2\) 倍。

设 \(S\) 为关键点的集合，\(d(k,s\to t)\) 表示 \(k\) 挂到 \(s\to t\) 路径的长度。

对于一个询问 \((s,t)\)，\(s\to t\) 路径长度时容易求的，我们只需要计算 \(\min\limits_{k\in S}d(k,s\to t)\) 即可。

考虑到 \(k\) 挂到 \(s\to t\) 路径上的那个点是唯一且在路径 \(s\to t\) 上的（上图中 \(k=7,s=1,t=9\)，\(7\) 挂到 \(1\to 9\) 的点是 \(2\)），可以预处理出对于每个点 \(u\)，离它最近的关键点的距离 \(f_u\)，那么 \(\min\limits_{k\in S}d(k,s\to t)=\min\limits_{u\in \{s\to t\}}f_u\)，\(\{s\to t\}\) 表示 \(s\to t\) 简单路径上的点构成的集合（包括 \(s,t\)）。

这个 \(f_u\) 显然可以通过树形 dp 求出，问题转换为求 \(s\to t\) 路径上的点的 \(f\) 值的最小值，树剖解决即可。因为我用的是线段树，复杂度 \(O(n\log^2 n)\)，其实可以 st 表做到 \(O(n\log n)\)。

赛时代码，写得有点丑陋。