AGC003D Anticube
神仙题。
由于时间限制 \(5\text s\)，我们可以整点怪的，比如根号分解质因子。
但是直接分解是 \(O(n\sqrt w)\) 的，值域为 \(w\) 即 \(10^{10}\)，肯定会炸。
毛估估一下，如果需要分解质因数，大概只能分解到 \(O(\sqrt[3]{w})\) 的质数。
我们把小于 \(\sqrt[3] w\) 的质数记为 \(p_1,p_2,...,p_m\)，显然 \(s_i\) 能够表示为 \(\prod p_k^{q_k}\times t\) 的形式。那么 \(t\) 不可能有次数大于等于 \(3 \) 的质因子。
由于要取出尽量多的数，考虑建立映射，记录形如 \(a_i=\prod p_k^{q_k\ \text{mod}\ 3}\times t\) 的数的个数。和 \(a_i\) 能组成立方数的 \(b_i\) 就一定形如 \(b_i=\prod p_k^{-q_k\ \text{mod}\ 3}\times t'\)，其中 \(t\times t'\) 为完全立方数。
假如我们知道 \(t'\) 的值，将所有 \(a_i\) 扔进 map 里，向对应的 \(b_i\) 连双向边，两边点权均为出现次数，答案就是带权最大独立集。
我们发现每个 \(a_i\) 与 \(b_i\) 是一一对应的，这个图其实是个二分图，每个连通块里面只有一条边，贪心取两边权值较大的即可。现在的问题变成了根据 \(t\) 如何求 \(t'\)。
由于 \(t\) 的质因子全部大于 \(\sqrt[3] w\)，那么显然 \(t\) 至多包含 \(2\) 个质因子，那么 \(t\) 就只有三种表示：\(t=p/pq/p^2\)，\(p,q\) 均为质数。
我们将根号的精神 贯 彻 到 底，考虑根号分治：
- \(t\le \sqrt w(t\neq 1)\)：
显然 \(t\) 只能表示成 \(p\) 的形式，所以 \(t'=p^2\)。
- \(t>\sqrt w\)：
- 若 \(t=pq\)，则 \(t'=p^2q^2\)，超过了 \(w\)，不用管。
- 若 \(t=p\)，则 \(t'=p^2\)，也超过了 \(w\)，也不用管。
- 若 \(t=p^2\)，则 \(t'=p\)，符合条件。
于是对于这种情况，判断 \(t\) 是否是平方数即可。
然后就做完了，\(1\) 的情况要讨论一下。
