CF1361E James and the Chase
Description
给定一个有 \(n\) 个点 \(m\) 条边的有向强连通图。称一个点是好的当且仅当它到其他点都有且只有一条简单路径。如果好的点至少有 \(20\%\) 则输出所有好的点，否则输出 -1。
\(\sum n\leq 10^5,\sum m\leq 2\times 10^5\)。
Solution
考虑给你一个点 \(u\)，如何判断其是否是好的。
那很简单是吧，只要以 \(u\) 为根建出 dfs 树，没有横叉边或者前向边的话 \(u\) 即为好节点。
那我们就可以 \(O(n)\) 判断了。
如果我们现在知道一个点 \(u\) 是好的，我们考虑如何求出所有的好节点。
还是以 \(u\) 为根建出 dfs tree，考虑某个 \(v\) 的子树，由于整个图的强连通性， \(v\) 的子树中有连向其祖先的返祖边。我们不难发现这样的边有且仅有一条，否则 \(v\) 有两条路径可以到达 \(fa_v\) 即 \(v\) 的父亲节点。
那我们先把所有子树 \(v\) 内返祖到根的祖先的边的个数记下来，如果这个个数 \(\ge 2\)，排除 \(v\) 是好点的可能，否则就顺便记下每个 \(v\) 子树的那条返祖边指向的点。
假设 \(v\) 的子树这条返祖边指向了 \(w\)，那么 \(v\) 是好点，当且仅当 \(w\) 是好点。考虑证明：
- 如果 \(w\) 是好点，那么 \(w\) 到所有点路径唯一，又由于 \(v\) 过 \(w\) 出子树的路径是唯一的，所以 \(v\) 到所有点的简单路径是唯一的，即 \(v\) 是好点。
- 如果 \(v\) 是好点，那么 \(v\) 到所有点路径唯一，由于 \(v\) 出子树必须要经过 \(w\)，所以 \(w\) 到 \(v\) 子树外所有点的路径也是唯一的，然后 \(w\) 到 \(v\) 的子树内的简单路径也是唯一的（没有前向边与横叉边），所以 \(w\) 是好点。
所以综合所有的结论：
一个点 \(v\) 是好点，当且仅当 \(v\) 的子树内有且仅有一条连向 \(v\) 的祖先的返祖边，并且这条边所连向的点是好点。
第一个条件可以考虑所有返祖边 \((a,b)\)，它对哪些 \(v\) 的子树内返向 \(v\) 祖先的边的数量的有贡献。显然这样的 \(v\) 分布在 \(a\to fa_a\to...\to son_b\) 上，这里的 \(son_b\) 为 \(b\) 的儿子节点中靠近 \(a\) 侧的那个，树上差分即可和第二个条件一起解决。
以上前提为 dfs tree 的根节点为好点。
那我们只要找到一个好点，并将其作为根节点，我们就能在 \(O(n)\) 的范围内求解。
由于题目只要求好点数量大于等于 \(20\%\) 时输出，所以我们随机取 \(100\) 个点跑 \(O(n)\) 判断。
如果好点数量不小于 \(20\%\)，你判断不出来的概率为 \(\Big(\dfrac{4}{5}\Big)^{100}\) 趋近于 \(0\)。
所以随机跑 \(100\) 次之后得不到一个好点的话就直接输出 \(-1\)，如果错了就是宇宙射线影响。
否则以找到的好点为根 \(O(n)\) 求答案即可。
注意随机取点不能取重，理由可见生日悖论。
