『学习笔记』模拟退火

1. 简介

什么是模拟退火？（选自 OI Wiki ）
模拟退火是一种随机化算法。当一个问题的方案数量极大（甚至是无穷的）而且不是一个单峰函数时，我们常使用模拟退火求解。

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2. 实现

模拟退火，顾名思义，是模拟「退火」的过程。当我们使用爬山算法的时候，对于非单峰函数的情形容易陷入次优解。爬山算法省略了最优解附近的非最优解从而想得到更优的答案，但是模拟退火试图以一定概率接受这个解。这个事情的实现即为「模拟退火」算法。（胡扯）
由于退火的过程有更多随机的选择因素，我们得到最优解的概率也会增加。

接受新状态概率

得到一组新解，我们有两种选择：接受或不接受。贪心告诉我们如果新状态更优就接受，否则不接受。然而模拟退火算法表示，如果新状态更优，一定接受；否则以一定概率接受。
具体来说，如果当前温度假设为 \(T\) ，新状态（由旧状态随机得到，比如交换两个数）与旧状态能量之差为 \(\Delta E \ge 0\) ，我们接受这个状态的概率为：

\[P(\Delta E)=\begin{cases}1\quad\quad\; 新状态更优\\e^{\frac{-\Delta E}{T}}\quad 新状态更劣\end{cases} \]

模拟退火过程

模拟退火中有 \(3\) 个参数：初始温度 \(T\) ，降温系数 \(d\) ，终止温度 \(T'\) 。

• 一般 \(T\) 我取 1919.810 ，是一个比较大的数。
• \(d\) 是一个接近 \(1\) 而小于 \(1\) 的数。
• \(T'\) 是一个接近 \(0\) 的数，一般会定为 eps 。
  我们每次随机最优解之后，新的温度 \(T\) 赋值为旧温度 \(T\times d\) ，\(T\le T'\) 时模拟退火算法结束。
  模拟退火过程中我们取所有计算过的状态的最优解。

如何卡时间

C++ 里面自带一个函数 clock() ，返回的是程序运行时间（单位是微秒），除以 CLOCKS_PER_SEC 就是运行秒数。所以我们可以这样：

while (clock() / (1.0 * CLOCKS_PER_SEC) <= 0.98) solve();

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3. 例题

「Luogu2210」Haywire

• 题意：&…￥%*@&…#￥%
• 做法：
  初始排列任意，每次挑两个排列中的奶牛交换，重新计算答案，判断是否优于当前最优解、是否转移即可。

void solve() {
    double tp = 6000;
    while (tp > eps) {
        int x = rand() % n + 1;
        int y = rand() % n + 1;
        swap(p[x], p[y]);
        int res = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= 3; j++) {
                res += abs(p[i] - p[s[i][j]]);
            }
        }
        res >>= 1;
        if (res < ans) ans = res;
        else if (exp(ans - res) / tp < double(rand()) / RAND_MAX) swap(p[x], p[y]);
        tp *= d;
    }
}

「POI2008」POD-Subdivision of Kingdom

• 题意：给出一张有 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，你需要求出一组合法的方案，使得图被划分为点数均为 \(\frac{n}{2}\) 的两个集合，且两个端点在不同集合中的边数最少。（保证 \(n\) 为偶数）
• 做法：
  和第一题类似的交换方案。
  一开始分组任意，每次退火的时候从两组里面任取一个出来交换，可以暴力计算新的答案，然后判断是否转移。

int chk(int x) { return p[x] > md; }
void solve() {
    double tp = 11451.4;
    while (tp > eps) {
        int x = rand() % md + 1;
        int y = rand() % md + md + 1;
        swap(p[t[x]], p[t[y]]);
        swap(t[x], t[y]);
        int res = 0;
        for (int i = 1; i <= m; i++) res += (chk(u[i]) ^ chk(v[i]));
        if (res < ans) {
            ans = res;
            for (int i = 1; i <= md; i++) as[i] = t[i];
        } else if (exp((ans - res) / tp) < double(rand()) / RAND_MAX) {
            swap(p[t[x]], p[t[y]]);
            swap(t[x], t[y]);
        }
        tp *= d;
    }
}

「JSOI2008」球形空间生成器

• 题意：给定 \(n\) 维球体上 \(n+1\) 点坐标，确定这个球体的球心。
• 做法：
  对于每个维度初始的球心坐标即对每个点坐标取平均值。然后求出每个点距离当前球心的距离，如果较远就往那个点拉，反之往反方向推。和模拟退火不同的是新的解必须接受，于是把每个维度的变化量算出来，乘以退火温度 \(T\) 加到原来每个维度的坐标上即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 1010;
double tot, f[maxn][maxn], ans[maxn], cnt[maxn], dis[maxn];
int n;

void check() {
	tot = 0;
	for (int i = 1; i <= n + 1; i++) {
		dis[i] = cnt[i] = 0;
		for (int j = 1; j <= n; j++) dis[i] += (f[i][j] - ans[j]) * (f[i][j] - ans[j]);
		dis[i] = sqrt(dis[i]);
		tot += dis[i];
	}
	tot /= n + 1;
	for (int i = 1; i <= n + 1; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			cnt[j] += (dis[i] - tot) * (f[i][j] - ans[j]) / tot;
		}
	}
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n + 1; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			scanf("%lf", &f[i][j]);
			ans[j] += f[i][j];
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) ans[i] /= n + 1;
	for (double t = 1919.810; t >= 0.0001; t *= 0.99995) {
		check();
		for (int i = 1; i <= n; i++) ans[i] += cnt[i] * t;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%.3f ", ans[i]);
	return 0;
}

4. 写在后面

模拟退火真™是个玄学东西。
有兴趣的可以做做 这个题单 。
祝你在考场上写的退火都拿 \(\color{lightgreen}{\mathtt{100pts}}\)！（