51nod 1575 Gcd and Lcm

题目链接：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1575

 

万年巨坑终于填掉了……

首先是煞笔西瓜的做题历程O_O。

原题要求$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\sum_{k=1}^i [(i,j),(i,k)]$

那么先推一波式子吧

balabala

我也忘记自己是怎么推的了（雾

总之最后推出来是这样的

$ ans=\sum_{i=1}^{n} f(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor)*g(i) $

其中 $ f(x)=\sum_{i=1}^{x} μ(i)*i^2*\frac{\frac{x}{i}(\frac{x}{i}+1)}{2} $  ，$ g(x)=[\sum_{d|x} \frac{x}{d}*φ(d)]^2 $

然后接下来的问题就是怎么求f(x)的值和g(x)的前缀和了，求出来就能分段计算辣。

嗯……

想想怎么求……

$ μ(i)*i^2 $ 可以用杜教筛直接求嘛，然后f(x)就可以O(3/4)分段求，可是在总式里面再跑一次分段的话复杂度会……诶，不管了，先写。

g(x)的前缀和可以洲阁筛求，嗯，码码码……（这么复杂的题怎么才7级？

啊，T了，意料之中……

改改改

跑得越来越快了……

诶，极限数据要跑两秒多，可是10组数据的话还是要10多秒

改不动，弃坑……

（51nod群上问了下，夹克老爷说他不会。

问问YJQ

他说$ \sum_{j=1}^i\sum_{k=1}^i [(i,j),(i,k)] $ 这东西是个积性函数。

所以直接用洲阁筛对这个东西求前缀和就好了（掀桌……

也就是说，看到题目，你开始推式子，你就输辣。

具体来说，对于一个质数$ p $，当 $ i=p^k $ 时，$ \sum_{j=1}^i\sum_{k=1}^i [(i,j),(i,k)] =(2k+1)*(p^{2k}-p^{2k-1})+p^{k-1} $

优越写法才2.8k，第一种方法直接上5k……

代码不贴辣。

 

upd at 2017.4.26好像这题烂大街了，我来发个洲阁筛模板吧

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ui unsigned int
#define ull unsigned long long
#define MN 100001
#define SQ 64000
using namespace std;
ui read_p,read_ca;
inline ui read(){
    read_p=0;read_ca=getchar();
    while(read_ca<'0'||read_ca>'9') read_ca=getchar();
    while(read_ca>='0'&&read_ca<='9') read_p=read_p*10+read_ca-48,read_ca=getchar();
    return read_p;
}
const ui HA=1e6+7;
ui T,n,MMH,p[MN/10],_p[MN/10],num=0,TTT,O,Num,f[SQ],_S[SQ],G_2[SQ],G_1[SQ],G_0[SQ],_T[SQ],P_P[MN/10],_G_2[MN/10],_G_1[MN/10],_O[SQ],_Num,_l[HA],NNN=0,LL;bool bo[MN];
ui gcd(ui x,ui y){return y?gcd(y,x%y):x;}
ui _b_y[HA],_b_z[HA],_b_ne[HA];
inline void _in(ui x,ui y,ui z){_b_y[++_Num]=y;_b_z[_Num]=z;_b_ne[_Num]=_l[x];_l[x]=_Num;}
inline ui Q_2(ui x){if (x%6==1)return (ull)(x+x+1)*(x+1)/6*x;else if (x%6==4) return (ull)(x+x+1)*x/6*(x+1);else return (ull)x*(x+1)/6*(x+x+1);}
inline ui Q_1(ui x){return (ull)x*(x+1)>>1;}
inline ui sqr(ui x){return x*x;}
inline ui min(ui a,ui b){return a<b?a:b;}
inline ui find(ui x){
    if (x<HA) return _b_z[_l[x]];
    register ui i;
    for (i=_l[x%HA];i;i=_b_ne[i]) if (_b_y[i]==x) return _b_z[i];
    return 0;
}
inline ui Mmh(ui n){
    register ui i,j,c;ui o=sqrt(n)+1e-9,MMH=0,k=0,R,Ls,Rs,P,SS=0;ull x,Q,O_O;
    while (p[LL+1]<=o&&LL<num) LL++;
    for (i=1;i<=n;i=j+1) j=n/(c=n/i),_S[++k]=c,_in(c%HA,c,k),_T[k]=f[k]=0,G_2[k]=Q_2(c),G_1[k]=Q_1(c),G_0[k]=c;
    for (i=k,j=0;i;_O[i--]=j) while (_S[i]>=p[j+1]) j++;
    for (f[i=1]=1,P=Ls=Rs=k;i<=LL;i++){
        if (i==1) while (_S[P]<_p[i]&&P) P--;else P=Rs;
        while (_S[Rs]<_p[i+1]&&Rs) SS+=f[Rs--];
        while (_S[Ls]<p[i+1]&&Ls) SS-=f[Ls--];
        if (i!=LL) MMH+=SS*P_P[i+1];
        for (j=P;j;j--)
        if (f[j]){
            for (x=p[i],Q=1,c=1;x<=_S[j];x*=p[i],Q*=p[i],c++){
                R=find(_S[j]/x);
                f[R]+=(O_O=f[j]*((2*c+1)*(p[i]-1)*sqr(Q)*p[i]+Q));if (Ls>=R&&R>Rs) SS+=O_O;
                if (i!=LL) if (_S[R]>=p[i+1]&&_S[R]<_p[i+1]) MMH+=O_O*P_P[i+1];
            }
        }
        for (j=1;j<=P;j++)
        if (_S[j]>=p[i]) c=min(i-1,_O[R=find(_S[j]/p[i])]),
        G_2[j]-=_p[i]*(G_2[R]-(_G_2[c]-_G_2[_T[R]]))+(_G_2[i-1]-_G_2[_T[j]]),
        G_1[j]-=p[i]*(G_1[R]-(_G_1[c]-_G_1[_T[R]]))+(_G_1[i-1]-_G_1[_T[j]]),
        G_0[j]-=(G_0[R]-(c-_T[R]))+(i-1-_T[j]),_T[j]=i;
    }
    for (j=1;j<=k;j++) c=min(LL,_O[j]),G_2[j]-=_G_2[c]-_G_2[_T[j]],G_1[j]-=_G_1[c]-_G_1[_T[j]],G_0[j]-=c-_T[j];
    for (i=1;i<=k;i++) MMH+=f[i]*((G_2[i]-G_1[i])*3+G_0[i]),_l[_S[k]%HA]=0;
    return _Num=0,MMH;
}
int main(){
    register ui i,j;
    for (i=2;i<MN;i++){
        if (!bo[i]) p[++num]=i,_p[num]=p[num]*p[num],_G_2[num]=_G_2[num-1]+_p[num],_G_1[num]=_G_1[num-1]+p[num],P_P[num]=3*p[num]*(p[num]-1)+1;
        for (j=1;j<=num&&(O=i*p[j])<MN;j++){
            bo[O]=1;
            if (!i%p[j]) break;
        }
    }
    T=read();while(T--){
        n=read();
        printf("%u\n",Mmh(n));
    }
}