bzoj:2154: Crash的数字表格

Description

今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如，LCM(6, 8) = 24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下： 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这个表格，Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题：这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时，Crash就束手无策了，因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大，Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。

Input

输入的第一行包含两个正整数，分别表示N和M。

Output

输出一个正整数，表示表格中所有数的和mod 20101009的值。

Sample Input

4 5

Sample Output

122

 

 

莫反硬上

 

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最后分段处理部分要维护i^2*μ(i)的前缀

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define N 10000000
using namespace std;
int read_p,read_ca;
inline int read(){
    read_p=0;read_ca=getchar();
    while(read_ca<'0'||read_ca>'9') read_ca=getchar();
    while(read_ca>='0'&&read_ca<='9') read_p=read_p*10+read_ca-48,read_ca=getchar();
    return read_p;
}
const int MOD=20101009;
int n,m,t,mu[N+1],p[N],num=0,mmh,ni,mi;
bool bo[N+1];
inline int f(int x){return 1LL*x*(x+1)/2%MOD;}
inline int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
inline int M(int x){while (x>=MOD) x-=MOD;while (x<0) x+=MOD;return x;}
inline int MMH(int n,int m){
    int mmh=0;
    for (register int i=1,j=0;i<=n;j=i++) i=min(n/(ni=n/i),m/(mi=m/i)),mmh=(1LL*f(ni)*f(mi)%MOD*M(mu[i]-mu[j])+mmh)%MOD;
    return mmh;
}
int main(){
    n=read();m=read();
    if (n>m) swap(n,m);
    register int i,j;
    mu[1]=1;
    for (i=2;i<=m;i++){
        if (!bo[i]) p[++num]=i,mu[i]=-1;
        for (j=1;j<=num&&p[j]*i<=m;j++){
            bo[i*p[j]]=1;
            if (i%p[j]) mu[i*p[j]]=-mu[i];else{
                mu[i*p[j]]=0;
                break;
            }
        }
    }
    for (i=1;i<=m;i++) mu[i]=M(1LL*mu[i]*i*i%MOD+mu[i-1]);
    for (int i=1,j=0;i<=n;j=i++) i=min(n/(n/i),m/(m/i)),mmh=(1LL*M(f(i)-f(j))*MMH(n/i,m/i)+mmh)%MOD;
    printf("%d\n",mmh);
}