1492: [NOI2007]货币兑换Cash
Description
小Y最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券：A纪念券（以下简称A券）和 B纪念券（以下
简称B券）。每个持有金券的顾客都有一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。每天随着市场的起伏波动，
两种金券都有自己当时的价值，即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目。我们记录第 K 天中 A券 和 B券 的
价值分别为 AK 和 BK（元/单位金券）。为了方便顾客，金券交易所提供了一种非常方便的交易方式：比例交易法
。比例交易法分为两个方面：（a）卖出金券：顾客提供一个 [0,100] 内的实数 OP 作为卖出比例，其意义为：将
OP% 的 A券和 OP% 的 B券 以当时的价值兑换为人民币；（b）买入金券：顾客支付 IP 元人民币，交易所将会兑
换给用户总价值为 IP 的金券，并且，满足提供给顾客的A券和B券的比例在第 K 天恰好为 RateK；例如，假定接
下来 3 天内的 Ak、Bk、RateK 的变化分别为：
.png)
假定在第一天时，用户手中有 100元 人民币但是没有任何金券。用户可以执行以下的操作：
.png)
注意到，同一天内可以进行多次操作。小Y是一个很有经济头脑的员工，通过较长时间的运作和行情测算，他已经
知道了未来N天内的A券和B券的价值以及Rate。他还希望能够计算出来，如果开始时拥有S元钱，那么N天后最多能
够获得多少元钱。
Input
输入第一行两个正整数N、S，分别表示小Y能预知的天数以及初始时拥有的钱数。接下来N行，第K行三个实数AK、B
K、RateK，意义如题目中所述。对于100%的测试数据，满足：0<AK≤10；0<BK≤10；0<RateK≤100；MaxProfit≤1
0^9。
【提示】
1.输入文件可能很大，请采用快速的读入方式。
2.必然存在一种最优的买卖方案满足：
每次买进操作使用完所有的人民币；
每次卖出操作卖出所有的金券。
Output
只有一个实数MaxProfit，表示第N天的操作结束时能够获得的最大的金钱数目。答案保留3位小数。
Sample Input
3 100
1 1 1
1 2 2
2 2 3
1 1 1
1 2 2
2 2 3
Sample Output
225.000
CDQ分治或Spaly动态维护凸包
首先是CDQ分治版本
#include<cstdio> #include<algorithm> #define MN 100001 using namespace std; int read_p,read_ca; inline int read(){ read_p=0;read_ca=getchar(); while(read_ca<'0'||read_ca>'9') read_ca=getchar(); while(read_ca>='0'&&read_ca<='9') read_p=read_p*10+read_ca-48,read_ca=getchar(); return read_p; } struct na{ double A,B,R,q; int id; }b[MN],x[MN]; struct ma{ double A,B; }q[MN],px[MN]; bool cmp(na a,na b){ return a.q>b.q; } bool operator < (ma a,ma b){ if (a.A==b.A) return a.B<b.B;else return a.A<b.A; } int n,top,s[MN]; double f[MN]; inline double max(double a,double b){return a>b?a:b;} inline double fk(ma a,ma b){ if (a.A==b.A) return 2e9*(a.B<=b.B?1:-1); return (a.B-b.B)/(a.A-b.A); } inline void work(int l,int r){ int i; if (l==r){ f[l]=max(f[l],f[l-1]); q[l].A=f[l]/(b[l].R*b[l].A+b[l].B)*b[l].R; q[l].B=f[l]/(b[l].R*b[l].A+b[l].B); return; } int mid=(l+r)>>1,l1=l,l2=mid+1; for (i=l;i<=r;i++) if (b[i].id<=mid) x[l1++]=b[i];else x[l2++]=b[i]; for (i=l;i<=r;i++) b[i]=x[i]; work(l,mid);top=0; for (i=l;i<=mid;s[++top]=i++) while(top>1) if (fk(q[s[top-1]],q[s[top]])<fk(q[s[top]],q[i])) s[top--]=0;else break; for (i=mid+1;i<=r;f[b[i].id]=max(f[b[i].id],q[s[top]].A*b[i].A+q[s[top]].B*b[i].B),i++) while(top>1) if (fk(q[s[top-1]],q[s[top]])<-b[i].q) s[top--]=0;else break; work(mid+1,r); l1=l;l2=mid+1; for (int i=l;i<=r;i++) if (((q[l1]<q[l2])||(l2>r))&&l1<=mid) px[i]=q[l1++];else px[i]=q[l2++]; for (int i=l;i<=r;i++) q[i]=px[i]; } int main(){ int i; n=read();scanf("%lf",&f[0]); for (i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf%lf",&b[i].A,&b[i].B,&b[i].R),b[i].q=b[i].A/b[i].B,b[i].id=i; sort(b+1,b+1+n,cmp); work(1,n); printf("%.3lf\n",f[n]); }
然后平衡树
#include<cstdio> #include<cstdlib> #include<algorithm> #define MN 100001 using namespace std; int n,ne[MN],fi[MN],p; double X[MN],Y[MN],f[MN],A[MN],B[MN],R[MN],q[MN]; inline double fk(int a,int b){ if (!a) return 2e9;if (!b) return -2e9; if (X[a]==X[b]) return 2e9*(Y[a]<=Y[b]?1:-1); return (Y[a]-Y[b])/(X[a]-X[b]); } struct tree{ int l,r,k,w,f,s; tree(){ f=l=r=0; } }; inline double max(double a,double b){return a>b?a:b;} struct splay_tree{ int size,root; tree t[100001]; splay_tree(){ size=0;root=0; } inline void ler(int &p){ int k=t[p].r; t[k].f=t[p].f; t[p].f=k; t[t[k].l].f=p; t[p].r=t[k].l; t[k].l=p; t[k].s=t[p].s; t[p].s=t[t[p].l].s+t[t[p].r].s+t[p].w; p=k; } inline void rir(int &p){ int k=t[p].l; t[k].f=t[p].f; t[p].f=k; t[t[k].r].f=p; t[p].l=t[k].r; t[k].r=p; t[k].s=t[p].s; t[p].s=t[t[p].l].s+t[t[p].r].s+t[p].w; p=k; } inline void ph(int &x,bool bo){if (bo) rir(x);else ler(x);} inline bool gc(int x){return t[t[x].f].l==x;} inline void rot(int p){ if (t[p].f==root) ph(root,gc(p));else if (gc(t[p].f)) ph(t[t[t[p].f].f].l,gc(p));else ph(t[t[t[p].f].f].r,gc(p)); } inline void splay(int p,int f){ while(t[p].f!=f){ if (t[t[p].f].f==f) rot(p);else if (gc(t[p].f)==gc(p)) rot(t[p].f),rot(p);else rot(p),rot(p); } } inline void insert(int &p,int k,int f){ if (!p){ p=++size; t[p].k=k; t[p].w=1; t[p].f=f; t[p].s=1; splay(p,0); return; } t[p].s++; if (X[t[p].k]>X[k]) insert(t[p].l,k,p);else insert(t[p].r,k,p); } inline int qui(int p,int k){ if (!p) return -1; if (X[t[p].k]>X[k]) return qui(t[p].l,k);else{ int u=qui(t[p].r,k); if (u==-1) splay(p,0),u=p;return u; } } inline int ask(int p,double k){ if (!p) return -1; if (fk(p,ne[p])==k) return p;else if (fk(p,ne[p])>k) return ask(t[p].r,k);else if (t[p].l==0) return p;else{ int u=ask(t[p].l,k); if (u==-1){splay(p,0);return p;}else return u; } } }; splay_tree t; inline void in(int x){ int s=t.qui(t.root,x),p=ne[s]; if (s&&X[s]==X[x]) if (Y[s]>=Y[x]){t.size++;return;}else s=fi[s]; if (fk(s,x)<fk(x,p)){t.size++;return;} if (s==-1){ p=ne[0]; while ((fk(x,p)<fk(p,ne[p]))&&p) p=ne[p]; t.splay(p,0);t.t[p].l=0; ne[x]=p; ne[0]=x; fi[x]=0; fi[ne[x]]=x; t.insert(t.root,x,0); return; } while (fk(fi[s],s)<fk(s,x)&&s) s=fi[s]; while ((fk(x,p)<fk(p,ne[p]))&&p) p=ne[p]; if ((!s)&&(!p)) t.root=0;else if ((!s)&&p) t.splay(p,0),t.t[p].l=0;else if (s&&(!p)) t.splay(s,0),t.t[s].r=0;else t.splay(s,0),t.splay(p,s),t.t[p].l=0; ne[s]=x;fi[x]=s; ne[x]=p;fi[p]=x; t.insert(t.root,x,0); } inline int que(double k){ return t.ask(t.root,k); } int main(){ scanf("%d%lf",&n,&f[1]); for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf%lf",&A[i],&B[i],&R[i]),q[i]=-A[i]/B[i]; X[1]=f[1]/(R[1]*A[1]+B[1])*R[1]; Y[1]=f[1]/(R[1]*A[1]+B[1]); in(1); for (int i=2;i<=n;i++){ p=que(q[i]); f[i]=max(X[p]*A[i]+Y[p]*B[i],f[i-1]); X[i]=f[i]/(A[i]*R[i]+B[i])*R[i]; Y[i]=f[i]/(R[i]*A[i]+B[i]); in(i); } printf("%.3lf\n",f[n]); return 0; }
