最大闭合权图
闭合图，就是在一个有向图中，构造出一个子图，使子图中每个点的后继（即由这个点为起点的有向边所到达的终点）都在这个图中。当原图带点权时，便出现了最大闭合权图的问题。
解决这一问题，需要使用网络流中的最小割问题，首先我们来了解一些定义：
割：带源点和汇点的有向图中使源点到汇点的路径集为空集时的边构成的边集，删去的边的容量和称为这个割的容量；
最小割：既定图中所有割的容量最小的一个；
简单割：剩余边都与源点汇点直接关联的割；
具体实现：构造源点S和汇点T，对于点权为正数的点，从S向这个点连一条容量为其点权的有向边，对于点权为负数的点，从这个点向T连一条容量为其点权绝对值的有向边，并将原有边容量设为无穷大。求出已构造的图的最小割（即最大流），则原图的最大闭合权图为残量网络中S所在集合除去S后剩下的点集，其点权和事实上等于原图中所有正数点权的和减去最小割的容量（即最大流）。
证明如下：
引理：①该图中最小割为简单割：所有与源点汇点无关联的边都为无穷大，所以最小割中不可能包含这些边，即为简单割；
②残量网络中的集合对应原图的一个闭合图：未删去边权为无穷大的边，使得所有点的后继都在该集合中
③其余证明中还有关于闭合图和简单割的等价证明，个人认为不必要，这里不作详述；
主要证明：
对构造出的网络做一遍Dinic后，我们记最小割容量为C，S所在集合为A集，T所在集合为B集，C事实上等于残量网络中的A集中原点权为负的点权和的绝对值+B集中原点权为正的点权和（因为此时删去边集为A集中原点权为负的点与T的连边和B集中原点权为正的点与S的连边），记A集中点权值和为P，P等于A集中原点权为正的点权-A集中原点权为负的点权，易得P+C=原图中所有正点权的权值和。记P+C=W，由于W是定值，而由引理②，P事实上等于原图的最大闭合权图点权只和，要使P最大，则C需最小，即为最小割，可得原图的最大闭合权图点权和等于所有正数点权的和减去最小割的容量。
代码如下：
#include <iostream> #include <algorithm> #include <cstring> #include <string> #include <cstdio> #include <cmath> #include <queue> #include <map> #include <set> #define MAXN 5555 #define MAXM 555555 #define INF 1000000007 using namespace std; struct node { int ver; // vertex int cap; // capacity int flow; // current flow in this arc int next, rev; }edge[MAXM]; int dist[MAXN], numbs[MAXN], src, des, n; int head[MAXN], e; void add(int x, int y, int c) { edge[e].ver = y; edge[e].cap = c; edge[e].flow = 0; edge[e].rev = e + 1; edge[e].next = head[x]; head[x] = e++; //反向边 edge[e].ver = x; edge[e].cap = 0; edge[e].flow = 0; edge[e].rev = e - 1; edge[e].next = head[y]; head[y] = e++; } void rev_BFS() { int Q[MAXN], qhead = 0, qtail = 0; for(int i = 1; i <= n; ++i) { dist[i] = MAXN; numbs[i] = 0; } Q[qtail++] = des; dist[des] = 0; numbs[0] = 1; while(qhead != qtail) { int v = Q[qhead++]; for(int i = head[v]; i != -1; i = edge[i].next) { if(edge[edge[i].rev].cap == 0 || dist[edge[i].ver] < MAXN)continue; dist[edge[i].ver] = dist[v] + 1; ++numbs[dist[edge[i].ver]]; Q[qtail++] = edge[i].ver; } } } void init() { e = 0; memset(head, -1, sizeof(head)); } long long maxflow() { int u; long long totalflow = 0; int Curhead[MAXN], revpath[MAXN]; for(int i = 1; i <= n; ++i)Curhead[i] = head[i]; u = src; while(dist[src] < n) { if(u == des) // find an augmenting path { int augflow = INF; for(int i = src; i != des; i = edge[Curhead[i]].ver) augflow = min(augflow, edge[Curhead[i]].cap); for(int i = src; i != des; i = edge[Curhead[i]].ver) { edge[Curhead[i]].cap -= augflow; edge[edge[Curhead[i]].rev].cap += augflow; edge[Curhead[i]].flow += augflow; edge[edge[Curhead[i]].rev].flow -= augflow; } totalflow += augflow; u = src; } int i; for(i = Curhead[u]; i != -1; i = edge[i].next) if(edge[i].cap > 0 && dist[u] == dist[edge[i].ver] + 1)break; if(i != -1) // find an admissible arc, then Advance { Curhead[u] = i; revpath[edge[i].ver] = edge[i].rev; u = edge[i].ver; } else // no admissible arc, then relabel this vertex { if(0 == (--numbs[dist[u]]))break; // GAP cut, Important! Curhead[u] = head[u]; int mindist = n; for(int j = head[u]; j != -1; j = edge[j].next) if(edge[j].cap > 0)mindist = min(mindist, dist[edge[j].ver]); dist[u] = mindist + 1; ++numbs[dist[u]]; if(u != src) u = edge[revpath[u]].ver; // Backtrack } } return totalflow; } int nt, m; int vis[MAXN]; void dfs(int u) { if(u == des) return; vis[u] = 1; for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next) if(edge[i].cap > 0 && !vis[edge[i].ver]) dfs(edge[i].ver); } int main() { init(); scanf("%d%d", &nt, &m); src = nt + 1; des = nt + 2; n = des; long long sum = 0; int w, u, v; for(int i = 1; i <= nt; i++) { scanf("%d", &w); if(w > 0) { sum += w; add(src, i, w); } else if(w < 0) add(i, des, -w); } while(m--) { scanf("%d%d", &u, &v); add(u, v, INF); } rev_BFS(); long long flow = maxflow(); memset(vis, 0, sizeof(vis)); dfs(src); int ans = 0; for(int i = 1; i <= nt; i++) if(vis[i]) ans++; printf("%d %I64d\n", ans, sum - flow); return 0; }
