数学归纳法

 

        我又一次闲着了……事实上我好像一直闲着……于是乎……再来篇日志吧……
        思来想去，写算法的话受众人群并不多，还是过几天把动态树练熟了写篇树专题，嗯，数学的话，貌似归纳法比较有得写……
        归纳法是什么咧？我觉得它就是一种无穷递推的证明方式。它的成立方式就像……栈……好吧，就像堆砖头，你把某一块放在某个位置的必要条件是……这块砖头的下面有另一块砖头，不然它会掉下去，砸到我这种大SB（Steve的SB程度大概比我低，所以……MC里面砖头是可以悬空放置的）。然后，如果你买了一块足够大的地用来堆砖头，只要你的砖头满足这个条件，你就可以无限地堆砖头，堆到天上去……然后老天爷会告诉你，孩子，你的定理成立了！
        以上扯淡……
        我们正经一点，换种说法，如果我现在告诉你，有一个只由学霸和学渣排成的队伍（学民等不在内），并且第一个人是个学霸，每个学霸后面都只能站一个学霸，不可能是学渣，那么你就可以知道这个队伍里面全是学霸，是不会有我的存在的……
        以上扯淡……
        给个百度来的正经说法：
        ①第一数学归纳法：
　　　　一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n)，有如下步骤：
　　　　（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；

　　　　（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

            综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。
        ②第二数学归纳法：

　　　　对于某个与自然数有关的命题P(n)，

　　　　（1）验证n=n0时P(n)成立；

　　　　（2）假设n0≤n<k时P(n)成立，并在此基础上，推出P(k+1)成立。

　　　　 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。
        ③反向归纳法（倒推归纳法）：

　　　　（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n)成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）；

　　　　（2）假设P(k+1)（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k)成立，

　　　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立；

        ④跷跷板归纳法（螺旋式归纳法）：

　　　　对两个与自然数有关的命题P(n)，Q(n)，

　　　　（1）验证n=n0时P(n)成立；

　　　　（2）假设P(k)（k>n0）成立，能推出Q(k)成立，假设Q(k)成立，能推出P(k+1)成立；

　　　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n)，Q(n)都成立。
　　　看完是不是觉得我说得很有道理呢……
        我来稍微解释下：
        第一数学归纳法就像普通的堆砖头，必须一个一个往上堆。第二数学归纳法就像……堆砖头！对！我太机智了！如果你已经把砖头堆出一光年那么高了，如果我把你的第一个抽掉（哇，我力气好大） ，如果你像我一样SB的话，你还是会被砸。反向归纳法嘛，兴许你不能那么SB了，奥义~悬浮术，然后，你的砖头飞了起来，悬在空中，当然这只是暂时的，你可以从这块半空中的砖头往下堆，对，从他的下面开始堆，一直堆到地上，然后原来的砖头就不需要法术维护了，它可以稳稳地在那呆着。跷跷板归纳法……你可以想象两堆砖头，像砌墙的时候那样交叉放，然后，你可以堆出(一亿亿mod 1)米那么高的大楼……
        例题嘛……给点简单的就好：
        求证：Σ(0≤i<n)2^i=2^n-1。
        显然，当n=1时，等式成立，然后假设当n=k时满足，即Σ(0≤i<k)2^i=2^k-1，那么Σ(0≤i<k+1)2^i=2^k-1+2^k=2^(k+1)-1。于是乎，当n≥1时，该式子成立。
        怎么说呢……当n=1时，等式是成立的，就相当于你放下第一块砖，然后由n=k满足推出n=k+1也满足其实就是告诉你，随便哪块砖上面都可以再堆一块……我堆啊堆，堆啊堆，终于逆天了（因为我比较SB，而且是SB^3），砖头堆天上去了，堆出了地球，堆出了太阳系，堆出当前宇宙膜……以上扯淡……总之老师告诉我，同学，你的定理成立了，但是，中考不给分……T_T
        新成就点亮：堆得一手好砖！