默比乌斯函数
本文是swm_sxt作为高中生敲的第一篇日志……
说到默比乌斯函数μ(n)啊，先回忆一下以前敲过的一个东西：欧拉函数φ(n)表示的是1~n之间有多少个数与n互质。那么如果我们把它简化一下：当n为r个不同素数的乘积时μ(n)=(-1)^r，当n为有平方因数时，μ(n)=0，特殊地当n=1时，μ(n)=1。
说到默比乌斯函数μ(n)啊，先回忆一下以前敲过的一个东西：欧拉函数φ(n)表示的是1~n之间有多少个数与n互质。那么如果我们把它简化一下：当n为r个不同素数的乘积时μ(n)=(-1)^r，当n为有平方因数时，μ(n)=0，特殊地当n=1时，μ(n)=1。
首先，显然，当(a,b)=1时（(a,b)表示a,b的最大公因数），μ(ab)=μ(a)*μ(b)。哈，正确性是显然的：
设a,b的标准分解式为：a=p1^c1*p2^c2*p3^c3^…pk^ck，b=q1^d1*a2^d2*q3^d3…ql^dl，因为(a,b)=1，所以数组p，q中一定没有相等的两个数字。如果有平方因数，μ(ab) 自然就等于0了，否则μ(ab)就跟k+l的奇偶性相关咯……
另一个性质：Σμ(d) （d|n）=0（n>1），证明如下：
记n=p1^c1*p2^c2*p3^c3^…pk^ck，显然：
Σμ(d) （d|n）=μ(x)（x为p的任意组合的乘积）=1+ΣC(i,k)(-1)^i=(1-1)^k=0。
在OI中，应该说这东西是很有用的，生成方式嘛，跟欧拉函数一个样，一边线性筛，一边在筛除合数的同时生成μ(n)。
默比乌斯反演：
对于正整数集上两个函数：f(n)，g(n)，如果f(n)=Σg(d) (d|n)，则g(n)=Σ μ(d)f(n/d)（d|n），反之亦然。
证明啊……很显然，μ(d)f(n/d)是有正有负的，然后容斥一下，就抵消了嘛，具体我就不写了。（本来是要写的，结果旁边一群人载歌载舞，吵成DOG，瞬间不想写了……）
就这样吧……
完……
设a,b的标准分解式为：a=p1^c1*p2^c2*p3^c3^…pk^ck，b=q1^d1*a2^d2*q3^d3…ql^dl，因为(a,b)=1，所以数组p，q中一定没有相等的两个数字。如果有平方因数，μ(ab) 自然就等于0了，否则μ(ab)就跟k+l的奇偶性相关咯……
另一个性质：Σμ(d) （d|n）=0（n>1），证明如下：
记n=p1^c1*p2^c2*p3^c3^…pk^ck，显然：
Σμ(d) （d|n）=μ(x)（x为p的任意组合的乘积）=1+ΣC(i,k)(-1)^i=(1-1)^k=0。
在OI中，应该说这东西是很有用的，生成方式嘛，跟欧拉函数一个样，一边线性筛，一边在筛除合数的同时生成μ(n)。
默比乌斯反演：
对于正整数集上两个函数：f(n)，g(n)，如果f(n)=Σg(d) (d|n)，则g(n)=Σ μ(d)f(n/d)（d|n），反之亦然。
证明啊……很显然，μ(d)f(n/d)是有正有负的，然后容斥一下，就抵消了嘛，具体我就不写了。（本来是要写的，结果旁边一群人载歌载舞，吵成DOG，瞬间不想写了……）
就这样吧……
完……
