[主席树]ZOJ2112 && BZOJ1901 Dynamic Rankings

题意：n个数，q个询问 (n<=50000, q<=10000)

Q x y z 代表询问[x, y]区间里的第z小的数

C x y    代表将(从左往右数)第x个数变成y

 

上篇介绍了在[x, y]区间内查询第z小的数的方法(静态主席树)

本题有更新操作

 

若仍用上篇的做法，

每次更新一个数，需要更新的是T[i], T[i+1]... ...T[n](该数所在的树以及它后面的所有树)

因为每棵树T[i]所记录的都是前缀(1到i的数出现的次数) 因此，改变i，会影响i到n的所有树

这样，每次更新的复杂度最坏为O($n$)，最坏更新q次即为O($n\times m$) 复杂度相当庞大，很明显这样做是不行的

 

那怎么办呢？

我们可以发现，对于改变i处的数这个操作，对于T[i], T[i+1]... ...T[n]这些树的影响是相同的

  都只改变了  “原来i处的数 的数量”  和  “现在i处的数 的数量” 这两个值而已

我们只要在原来的基础上增加一类树， 用它们来维护更新掉的数

即用树状数组来记录更新，每次更新$logn$棵树

 

下面来演示一下建树到查询的过程：

比如此题的第一个案例

5 3
3 2 1 4 7
Q 1 4 3
C 2 6
Q 2 5 3

先将序列以及要更新的数(C操作)离散化  

即3 2 1 4 7 、 6  ---->(排序) ----> 1 2 3 4 6 7  

那么我们就需要建一棵这样的树：

(圈里的都是结点的编号， 4、5、6、9、10、11号结点代表的分别是1、2、3、4、6、7)

(4、5、9、10你也可以任意作为6或11的儿子， 递归生成的是类似这样的， 这并不重要)

 

对于3 2 1 4 7(先不管需要更新的6)建完树见下图(建树过程同静态的，不明白的戳这里，上篇博客有讲)

(红色的是个数， 相同结点的个数省略了，同前一棵树)

 

对于C操作之前的Q，就跟静态的类似，减一减 找就好了

 

然后下面要更新了

对于更新， 我们不改变这些已经建好的树， 而是另建一批树S，用来记录更新，而这批线段树，我们用树状数组来维护

也就是树状数组的每个节点都是一颗线段树

一开始，S[0]、S[1]、S[2]、S[3]、S[4]、S[5](树状数组的每个节点)这些都与T[0]相同(也就是每个节点建了一棵空树)

对于C 2 6 这个操作， 我们只需要减去一个2，加上一个6即可

对于减去2

(树状数组i+lowbit(i)为i的父亲节点， 修改i，就要把i的所有父亲节点都修改了)

2在树状数组中出现的位置是 2、2+lowbit(2)=4 这两个位置，    

因此要更新的是S[2]和S[4]这两个节点中的树

删去2后是这样

加上一个6 (同样是对于2号位置， 因此需要更新的仍是S[2]和S[4])

加上之后是这样

 

 

 当查询的时候， 对树T的操作与静态的一致，另外再加上S树的值就好了

 

 

  1 #include <bits/stdc++.h>
  2 using namespace std;
  3 typedef long long LL;
  4 #define lson l, m
  5 #define rson m+1, r
  6 const int N=60005;
  7 int a[N], Hash[N];
  8 int T[N], L[N<<5], R[N<<5], sum[N<<5];
  9 int S[N];
 10 int n, m, tot;
 11 struct node
 12 {
 13     int l, r, k;
 14     bool Q;
 15 }op[10005];
 16 
 17 int build(int l, int r)
 18 {
 19     int rt=(++tot);
 20     sum[rt]=0;
 21     if(l!=r)
 22     {
 23         int m=(l+r)>>1;
 24         L[rt]=build(lson);
 25         R[rt]=build(rson);
 26     }
 27     return rt;
 28 }
 29 
 30 int update(int pre, int l, int r, int x, int val)
 31 {
 32     int rt=(++tot);
 33     L[rt]=L[pre], R[rt]=R[pre], sum[rt]=sum[pre]+val;
 34     if(l<r)
 35     {
 36         int m=(l+r)>>1;
 37         if(x<=m)
 38             L[rt]=update(L[pre], lson, x, val);
 39         else
 40             R[rt]=update(R[pre], rson, x, val);
 41     }
 42     return rt;
 43 }
 44 
 45 int lowbit(int x)
 46 {
 47     return x&(-x);
 48 }
 49 
 50 int use[N];
 51 void add(int x, int pos, int val)
 52 {
 53     while(x<=n)
 54     {
 55         S[x]=update(S[x], 1, m, pos, val);
 56         x+=lowbit(x);
 57     }
 58 }
 59 
 60 int Sum(int x)
 61 {
 62     int ret=0;
 63     while(x>0)
 64     {
 65         ret+=sum[L[use[x]]];
 66         x-=lowbit(x);
 67     }
 68     return ret;
 69 }
 70 
 71 int query(int u, int v, int lr, int rr, int l, int r, int k)
 72 {
 73     if(l>=r)
 74         return l;
 75     int m=(l+r)>>1;
 76     int tmp=Sum(v)-Sum(u)+sum[L[rr]]-sum[L[lr]];
 77     if(tmp>=k)
 78     {
 79         for(int i=u;i;i-=lowbit(i))
 80             use[i]=L[use[i]];
 81         for(int i=v;i;i-=lowbit(i))
 82             use[i]=L[use[i]];
 83         return query(u, v, L[lr], L[rr], lson, k);
 84     }
 85     else
 86     {
 87         for(int i=u;i;i-=lowbit(i))
 88             use[i]=R[use[i]];
 89         for(int i=v;i;i-=lowbit(i))
 90             use[i]=R[use[i]];
 91         return query(u, v, R[lr], R[rr], rson, k-tmp);
 92     }
 93 }
 94 
 95 void modify(int x, int p, int d)
 96 {
 97     while(x<=n)
 98     {
 99         S[x]=update(S[x], 1, m, p, d);
100         x+=lowbit(x);
101     }
102 }
103 
104 int main()
105 {
106     int t;
107     scanf("%d", &t);
108     while(t--)
109     {
110         int q;
111         scanf("%d%d", &n, &q);
112         tot=0;
113         m=0;
114         for(int i=1;i<=n;i++)
115         {
116             scanf("%d", &a[i]);
117             Hash[++m]=a[i];
118         }
119         for(int i=0;i<q;i++)
120         {
121             char s[10];
122             scanf("%s", s);
123             if(s[0]=='Q')
124             {
125                 scanf("%d%d%d", &op[i].l, &op[i].r, &op[i].k);
126                 op[i].Q=1;
127             }
128             else
129             {
130                 scanf("%d%d", &op[i].l, &op[i].r);
131                 op[i].Q=0;
132                 Hash[++m]=op[i].r;
133             }
134         }
135         sort(Hash+1, Hash+1+m);
136         int mm=unique(Hash+1, Hash+1+m)-Hash-1;
137         m=mm;
138         T[0]=build(1, m);
139         for(int i=1;i<=n;i++)
140             T[i]=update(T[i-1], 1, m, lower_bound(Hash+1, Hash+1+m, a[i])-Hash, 1);
141         for(int i=1;i<=n;i++)
142             S[i]=T[0];
143         for(int i=0;i<q;i++)
144         {
145             if(op[i].Q)
146             {
147                 for(int j=op[i].l-1;j;j-=lowbit(j))
148                     use[j]=S[j];
149                 for(int j=op[i].r;j;j-=lowbit(j))
150                     use[j]=S[j];
151                 printf("%d\n", Hash[query(op[i].l-1, op[i].r, T[op[i].l-1], T[op[i].r], 1, m, op[i].k)]);
152             }
153             else
154             {
155                 modify(op[i].l, lower_bound(Hash+1, Hash+1+m, a[op[i].l])-Hash, -1);
156                 modify(op[i].l, lower_bound(Hash+1, Hash+1+m, op[i].r)-Hash, 1);
157                 a[op[i].l]=op[i].r;
158             }
159         }
160     }
161     return 0;
162 }
ZOJ 2112

 

posted @ 2015-07-19 21:18  Empress  阅读(3560)  评论(11)  编辑  收藏  举报