Dijkstra及其队列优化
设计背景
Edsger Wybe Dijkstra
荷兰人
1972 Turing Award，
结构化程序设计语言之父，
成就有 goto有害论， Dijkstra算法。
过程模拟
-
定义集合P为已求出最短路径的顶点， Q为未求出最短路径的顶点
-
设起点为s，dis[v]表示从s到v的最短路径， pre[v]为v的前驱节点，用来输出路径。
-
初始化：
dis[v]=∞(v≠s);dis[s]=0; pre[s]=0;
for (i = 1; i <= n ; i++)
1.在集合Q中找一个顶点u使得dis[u]最小
2.u标记为已确定最短路径，从Q中删除，加 入P中
3.for 与u相连的每个顶点v
if(dis[u]+w[u][v]<dis[v]) { dis[v]=dis[u]+w[u][v];pre[v]=u; }
- 结束：dis[v]为s到v的最短距离；
pre[v]为v的前驱，用来输出路径。
(有图有真相)
以0点为源点，dist[i]为源点到顶点的最短路径。| 步骤 | dist[1] | dist[2] | dist[3] | dist[4] | 已找到的集合 |
|---|---|---|---|---|---|
| 第一步 | 8 | 1 | 2 | +∞ | {2} |
| 第二步 | 8 | 1 | 2 | 4 | {2,3} |
| 第三步 | 5 | 1 | 2 | 4 | {2,3,4} |
| 第四步 | 5 | 1 | 2 | 4 | {2,3,4,1} |
由于老韩在课上讲到了**质疑**的重要性！
那么
Emotion。发现你可能存在以下疑问
若A作为源点，与其邻接的只有B，C，D三点，
其dist[]最小时顶点为C，即就可以确定A→C为A到C的最短路。
但是我们存在疑问的是：是否还存在另一条路径使A到C的距离更小？
用反证法证明。
假设存在如上图的红色虚线路径，
使A→D→C的距离更小，
那么A→D作为A→D→C的子路径，
其距离也比A→C小，
这与前面所述“dist[]最小时顶点为C”矛盾，
故假设不成立。
因此这个疑问不存在。
根据上面的证明，
我们可以推断出，
Dijkstra每次循环都可以确定一个顶点的最短路径，
故程序需要循环n-1次。
(该部分内容借鉴大佬博客qwq）
完整代码
（这是一份喜欢卖萌的代码qwq）
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
//#include<qwq>
#define INF 0x3fffffffffffffff
#define ll long long
#define maxn 10010
//#define QAQ qwq
using namespace std;
ll dis[maxn]; //result
bool v[maxn]; //访问与否
int n,m,s; //n:
//int QVQ;
struct my_pair
{
int v; //to
ll d; //data
my_pair(int x,ll y)
{
v=x;
d=y; //初始化
}
bool operator < (my_pair r/*right*/) const
{
return d>r.d;
} //运算符重载
};
//struct QVQ
struct Edge
{
int to,next; //to=go,next=from
ll val; //data
}E[maxn*2];
int cnt;
int h[maxn]; //head
void add(int u,int v,ll d)
{
E[++cnt].to=v;
E[cnt].val=d;
E[cnt].next=h[u];
h[u]=cnt;
}
void dijkstra(int x)
{
memset(v,0,sizeof(v)); //将v数组初始化，使得里面没有点
for(int i=1;i<=n;i++)
dis[i] = (i==x) ? 0 : INF; //将源点存储，标记权值为0
priority_queue <my_pair> pq;
pq.push(my_pair(x,dis[x])); //将x，dis【x】存入my_pair对象中
while(!pq.empty())
{
int r=pq.top().v; //search 顶点
ll rdis=pq.top().d; //search data
pq.pop(); //弹出第一个点
if(v[r])
continue; // 访问过的点拒绝访问
else
v[r]=true; //立flag标记访问与否
for(int i=h[r];i;i=E[i].next) //从顶点访问到完
{
int y=E[i].to; //y点是这条边到达的点
if(rdis+E[i].val<dis[y])
{
dis[y]=rdis+E[i].val;
pq.push(my_pair(y,dis[y]));
}
}
}
}
//int main QAQ
int main()
{
cout<<"q请输入点数："<<endl;
cin>>n;
cout<<"w请输入边数："<<endl;
cin>>m;
cout<<"q请输入起点："<<endl;
cin>>s;
cout<<"QAQ请输入每条边的两点及权值："<<endl;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u,v;
ll d;
cin>>u>>v>>d;
add(u,v,d);
add(v,u,d);
}
dijkstra(s);
cout<<"Orz这是结果："<<endl;
for(int i=1;i<=n;i++)
cout<<"1->"<<i<<" "<<dis[i]<<endl;
return 0;
}
结果表示：
时间复杂度
众所周知，Dijkstra算法的时间复杂度为
而Dijkstra在优先队列的的优化下时间复杂度可达O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn);
(毕竟Emotion。对时间复杂度的计算有些问题，所以就说这么多啦qwq)
emmm
就这么结束吧
真是不敢相Emotion的第一篇博客是关于Dijkstra的QAQ
最后附上大佬博客qwq大佬在这里！
