Codeforces 388D Fox and Perfect Sets
链接：CF388D
题目大意
给定一个数\(n\)，求选择\(0 \sim n\)中任意个数的数字组成的集合\(S\)中，有多少满足若\(a\in S,b\in S\),则\(a \bigoplus b \in S\),输出方案数对\(1e9+7\)取模。
题目分析
设\(f[i][j][k]\)表示从第\(i\)位到最高位，已经选了\(j\)个基，且由基\(\bigoplus\)得到的最大值与\(n\)的差值是否在\(2^i\)以内的方案数。
况一：当\(k=0\)（异或最大值\(+2^i<n\)）时，考虑第\(i-1\)位。
如果该位要作为单独一个基，那么有\(f[i-1][j+1][0]+=f[i][j][0]\)，
该位单独作基，则新增情况数为之前有的情况，视为在之前每种情况上\(x\)新增一个\(2^{i-1} \)的基，
由设可保证新构成的集合异或最大值与\(n\)的差值在\(2^{i-1}\)之外，所以算在\(f[i-1][j+1][0]\)中。
如果该位不单独作基，而是放入已经拥有的j个基中，
那么对于每个基，都有放与不放两种选择，共\(2^j\)种，\(f[i-1][j][0]+=2^j*f[i][j][0]\)。
况二：当\(k=1\)（异或最大值\(+2^i>=n\)）时，考虑第\(i-1\)位。
讨论\(n\)在第\(i-1\)位是否为\(1\)：
1、\(n\)在第\(i-1\)位不为\(1\)，异或最大值\(+2^{i-1}>n\)：
此时最大值无法新增一个\(2^{i-1}\)。
那么，我们只能继承令第\(i-1\)位为偶数个\(1\)的情况，因为只有这样，最大值才不会改变，共\(2^{j-1}\)种。
2、\(n\)在第\(i-1\)位为\(1\)，异或最大值\(+2^{i-1}≤n\)：
如果在第\(i-1\)位取\(0\)，那么新得到的集合异或最大值\(+2^{i-1}≤n\)，因此应存入\(f[i-1][j][0]\)中，共\(2^{j-1}\)种。
如果在第\(i-1\)位取\(1\)，那么新得到的集合异或最大值\(+2^{i-1}≥n\)，因此应存入\(f[i-1][?][1]\)中。
-
对于第\(i-1\)位单独作基的情况，可以有\(f[i][j][1]\)种，存入\(f[i-1][j+1][1]\)中,\(f[i-1][j+1][1]+=f[i][j][1]\)。
-
对于第\(i-1\)位不单独作基的情况，可以对每个基选择放与不放，且必须放奇数个，共\(2^{j-1}\)种选择，
因此\(f[i-1][j][1]+=2^{j-1}*f[i][j][1]\)。
注意：
对于所有情况，当\(j=0\),对于选择第\(i-1\)位为\(0\)的情况，\(2^{j-1}\)算作\(1\)；
对于选择第\(i-1\)位为\(1\)的情况，\(2^{j-1}\)算作\(0\)，因为就算你没有选择一个基，你的异或和仍可以视作\(0\)。
代码实现
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#define MAXN 0x7fffffff
typedef long long LL;
const int mod=1e9+7;
using namespace std;
inline int Getint(){
register int x=0,f=1;
register char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){
if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch)){
x=x*10+ch-'0';
ch=getchar();
}
return x*f;
}
int ans,f[35][35][2];
void Add(int &x,int y){x=((x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y));}
int main(){
int n=Getint();
f[30][0][1]=1;
for(int i=30;i>0;i--)
for(int j=0;j<=30;j++){
Add(f[i-1][j][0],(1LL<<j)*f[i][j][0]%mod);
Add(f[i-1][j+1][0],f[i][j][0]);
int x=j?(1<<(j-1)):1,y=j?(1<<(j-1)):0;
if(n>>(i-1)&1){
Add(f[i-1][j][0],(LL)x*f[i][j][1]%mod);
Add(f[i-1][j][1],(LL)y*f[i][j][1]%mod);
Add(f[i-1][j+1][1],f[i][j][1]);
}else Add(f[i-1][j][1],(LL)x*f[i][j][1]%mod);
}
for(int i=0;i<=30;i++)
Add(ans,f[0][i][0]),Add(ans,f[0][i][1]);
cout<<ans;
return 0;
}
