【TJOI/HEOI2016】求和

题面

题目分析

\[\begin{split} \sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^iS(i,j)\cdot 2^j\cdot j!&=\sum_{j=0}^n2^j\cdot j!\sum_{i=0}^nS(i,j)\\ &=\sum_{j=0}^n2^j\cdot j!\sum_{i=0}^n\sum_{k=0}^j\frac {(-1)^k}{k!}\cdot \frac{(j-k)^i}{(j-k)!}\\ &=\sum_{j=0}^n2^j\cdot j!\sum_{k=0}^j\frac {(-1)^k}{k!}\cdot \frac{\sum\limits_{i=0}^n(j-k)^i}{(j-k)!}\\ \end{split} \]

最终，\(\sum\limits_{i=0}^n(j-k)^i\)是等比数列求和，可以\(O(1)\)计算。

设\(g(i)=\frac{i^{n+1}-1}{(i-1)\cdot i!},g(0)=1,g(1)=n+1\)，\(f(i)=\frac {(-1)^i}{i!}\)。

所以有

\[ans=\sum_{j=0}^n2^j\cdot j!\sum_{k=0}^jf(k)\cdot g(j-k) \]

\(\sum_{k=0}^jf(k)\cdot g(j-k)\)是一个卷积，可以NTT计算。

代码实现

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#define MAXN 0x7fffffff
typedef long long LL;
const int N=400005,mod=998244353;
using namespace std;
inline int Getint(){register int x=0,f=1;register char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int ksm(int x,int k){
	int ret=1;
	while(k){
		if(k&1)ret=(LL)ret*x%mod;
		x=(LL)x*x%mod,k>>=1;
	}
	return ret;
}
int rev[N];
void NTT(int *a,int x,int K){
	int n=(1<<x);
	for(int i=0;i<n;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int i=1;i<n;i<<=1){
		int tmp=i<<1,wn=ksm(3,(mod-1)/tmp);
		if(K==-1)wn=ksm(wn,mod-2);
		for(int j=0;j<n;j+=tmp){
			int w=1;
			for(int k=0;k<i;k++,w=(LL)w*wn%mod){
				int x=a[j+k],y=(LL)w*a[i+j+k]%mod;
				a[j+k]=(x+y)%mod,a[i+j+k]=(x-y+mod)%mod;
			} 
		}
	}
	if(K==-1){
		int inv=ksm(n,mod-2);
		for(int i=0;i<n;i++)a[i]=(LL)a[i]*inv%mod;
	}
}
int a[N],b[N],fac[N];
int main(){
	int n=Getint();
	fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=(LL)fac[i-1]*i%mod;
	a[0]=1,b[0]=1,b[1]=n+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i]=(((i&1)?-1:1)*ksm(fac[i],mod-2)+mod)%mod;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        b[i]=(LL)(ksm(i,n+1)+mod-1)%mod*ksm((LL)(i-1)*fac[i]%mod,mod-2)%mod; 
	
	int x=ceil(log2(n<<1|1));
	for(int i=0;i<(1<<x);i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<x-1);
	NTT(a,x,1),NTT(b,x,1);
	for(int i=0;i<(1<<x);i++)a[i]=(LL)a[i]*b[i]%mod;
	NTT(a,x,-1);
	
	int ans=0;
	for(int i=0,t=1;i<=n;i++,t=((LL)t<<1)%mod)
        ans=(ans+(LL)fac[i]*t%mod*a[i]%mod)%mod;
	cout<<ans;
	return 0;
}