【BZOJ5093】图的价值

题面

Description

“简单无向图”是指无重边、无自环的无向图（不一定连通）。

一个带标号的图的价值定义为每个点度数的k次方的和。

给定n和k，请计算所有n个点的带标号的简单无向图的价值之和。

因为答案很大，请对998244353取模输出。

Input

第一行包含两个正整数n,k(1<=n<=10^9,1<=k<=200000)。

Output

输出一行一个整数，即答案对998244353取模的结果。

Sample Input

6 5

Sample Output

67584000

题目分析

显然\(ans=n\cdot 2^{\frac {n\cdot(n-1)}2-(n-1)}\sum\limits_{i=0}^{n-1}i^k\cdot \binom{i}{n-1}\)。

其中，后面的求和式子与Codeforces 932E Team Work化简方式相同。

\[ans=n\cdot 2^{\frac {n\cdot(n-1)}2-(n-1)}\cdot\sum_{i=0}^k\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}i\binom {n-1}i2^{n-1-i} \]

用NTT预处理出\(\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}\)，答案便可直接计算。

代码实现

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#define MAXN 0x7fffffff
typedef long long LL;
const int N=200005,mod=998244353;
using namespace std;
inline int Getint(){register int x=0,f=1;register char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int ksm(int x,int k){
	int ret=1;
	while(k){
		if(k&1)ret=(LL)ret*x%mod;
		x=(LL)x*x%mod,k>>=1;
	}
	return ret;
}
int fac[N],inv[N];
int C(int n,int m){
	if(n<m)return 0;
	return (LL)fac[m]*inv[m]%mod;
}

int rev[N<<2];
void NTT(int *a,int x,int K){
	int n=(1<<x);
	for(int i=0;i<n;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int i=1;i<n;i<<=1){
		int tmp=i<<1,wn=ksm(3,(mod-1)/tmp);
		if(K==-1)wn=ksm(wn,mod-2);
		for(int j=0;j<n;j+=tmp){
			int w=1;
			for(int k=0;k<i;k++,w=(LL)w*wn%mod){
				int x=a[j+k],y=(LL)w*a[i+j+k]%mod;
				a[j+k]=(x+y)%mod,a[i+j+k]=(x-y+mod)%mod;
			} 
		}
	}
	if(K==-1){
		int inv=ksm(n,mod-2);
		for(int i=0;i<n;i++)a[i]=(LL)a[i]*inv%mod;
	}
}

int a[N<<2],b[N<<2]; 
int main(){
	int n=Getint(),K=Getint();
	
	fac[0]=1;for(int i=1;i<=K;i++)fac[i]=(LL)fac[i-1]*(n-i)%mod;
	inv[0]=1;for(int i=1;i<=K;i++)inv[i]=(LL)inv[i-1]*ksm(i,mod-2)%mod;
	
	int x=ceil(log2(K<<1|1));
	a[0]=1;for(int i=1,t=1;i<=K;i++,t=(LL)t*i%mod)a[i]=(((i&1)?-1:1)*ksm(t,mod-2)+mod)%mod,b[i]=(LL)ksm(i,K)*ksm(t,mod-2)%mod;
	for(int i=0;i<(1<<x);i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<x-1);
	
	NTT(a,x,1),NTT(b,x,1);
	for(int i=0;i<(1<<x);i++)a[i]=(LL)a[i]*b[i]%mod;
	NTT(a,x,-1);
	
	int ans=0;
	for(int i=0,t=1,lim=min(n-1,K);i<=lim;i++,t=(LL)t*i%mod)
		ans=(ans+(LL)a[i]*t%mod*C(n-1,i)%mod*ksm(2,n-i-1)%mod)%mod;
	cout<<((LL)ans*n%mod*ksm(2,((LL)n*(n-1)/2-(n-1))%(mod-1))%mod+mod)%mod;
	return 0;
}