广义串并联图总结

比较厉害，记录一下。

广义串并联图

定义

定义广义串并联图：不存在同胚于\(K_4\)的子图的图。

但是我没学过图的同胚，于是更加直接一点的判定是：图中不存在\(4\)个点，使得这\(4\)点之间存在\(6\)条边不相交的简单路径。

一般的树、仙人掌以及仙人掌多一条边都是广义串并联图。

性质

• \(m\le 2n\)，且图为平面图。

• 可以通过三种操作将整个图缩成一个点：删一度点，缩二度点，叠合重边。

直接给出广义串并联图的题不多，更为重要的是广义串并联图简化的方法

广义串并联方法

就是以上说的：

1. 删一度点：直接将度数为\(1\)的点删掉。

2. 缩二度点：将一个二度点缩成一条边。

3. 叠合重边：将两条重边缩成一条。

这种缩图的方法比广义串并联图常见，而且有很好的性质：缩完后所有点的度数大于等于\(3\)，即\(2m\ge 3n\)。

如果题目中给出性质\(m\le n+k\)，其中\(k\)是较小常数但\(n,m\)很大，那么就可以先用上面的方法缩图。

注意到缩图过程中\(m-n\)不增，于是最终满足\(m-n\le k\)，又\(2m\ge 3n\)，于是\(n\le 2k,m\le 3k\)，于是整个图都是\(O(k)\)级别，可以允许很大的暴力。

实现中可以用map维护所有边，队列维护度数\(\le 2\)的点，这样就可以快速删边删点加边了。

这样缩完得到的新图有何含义呢？关注缩图过程，可以发现，新图中的一条边代表一个子图，这个子图和图的其它部分只通过边的两个端点连接；新图中的一个点也代表一个子图，这个子图是原图不断删一度点形成的。

在运用广义串并联方法时，通常对边进行DP，\(f_{e,s}\)表示边\(e\)在\(s\)的限制下的答案。考虑转移，即广义串并联方法中的三种转移。缩完图后，对于剩下不能缩的部分再想办法，一般是暴搜。

也不一定先DP再暴搜吧，反正缩完图后范围减小，更加好做了。