暴力多项式全家桶

多项式的常数很大，小规模的问题可以用常数小的暴力。

加法

\(H(x)=F(x)+G(x)\)，求\(H(x)\)

Sol：

\(h_i=f_i+g_i\)，\(O(n)\)

乘法

\(H(x)=F(x)G(x)\)，求\(H(x)\)

Sol：

\(h_i=\sum\limits_{j=0}^i f_jg_{i-j}\)，\(O(n^2)\)

取模

\(F(x)=Q(x)G(x)+R(x)\)，求\(Q(x),R(x)\)

Sol：

如高精度除法模拟，\(O(n^2)\)

求逆

\(F(x)G(x)\equiv 1\pmod{x^n}\)，求\(G(x)\)

Sol：

注意到\(\sum\limits_{i=0}^n{f_ig_{n-i}}=[n=0]\)

我们将\(i=0\)的项抽出来：\(f_0g_n=[n=0]-\sum\limits_{i=1}^n{f_ig_{n-i}}\)

于是就有\(g_n=\frac{[n=0]-\sum\limits_{i=1}^n{f_ig_{n-i}}}{f_0}\)，可以进行\(O(n^2)\)递推。

求导&积分

\(G(x)=F'(x)\)

\(H(x)=\int{F(x)\mathrm{d}x}\)

求\(G(x)，F(x)\)

Sol：

\(g_i=(i+1)f_{i+1}\)

\(h_i=\frac{f_{i-1}}{i}\)

\(O(n)\)

开根

\(G^2(x)\equiv F(x)\pmod{x^n}\)

求\(G(x)\)

Sol：

\(f_i=\sum\limits_{j=0}^i{g_jg_{i-j}}\)

类似求逆时的处理方法：\(2g_0g_i=f_i-\sum\limits_{j=1}^{i-1}{g_jg_{i-j}}\)

移一下项就有：\(g_i=\frac{f_i-\sum\limits_{j=1}^{i-1}{g_jg_{i-j}}}{2g_0}\)

注意\(g_0^2=f_0\)是边界情况：

• 若\(f_0\neq0\)，则\(G\)的解数，取决于\(f_0\)的平方根数量。

• 若\(f_0=0\)，令\(F(x)=x^kH(x)\)，满足\(h（0）\neq0\)，那么若\(k\)为奇数，则\(G\)无解；若\(k\)为偶数，记\(P^2(x)=H(x)\)，那么\(G(x)=x^{\frac k2}P(x)\)。

\(\ln\)

\(G(x)\equiv\ln{F(x)}\pmod{x^n}\)

保证\(f_0=1\)

求\(G(x)\)

Sol：

对原式左右两边求导：\(G'(x)\equiv F'(x)F^{-1}(x)^\pmod{x^n}\)

先求出\(H(x)\equiv F^{-1}(x)\pmod{x^n}\)

那么有\((i+1)g_{i+1}=\sum\limits_{j=0}^i{(j+1)f_{j+1}h_{i-j}}\)，外加\(g_0=0\)即可。

\(O(n^2)\)

\(\exp\)

\(G(x)\equiv e^{F(x)}\pmod{x^n}\)

保证\(f_0=0\)

求\(G(x)\)

Sol：

狠狠的求导：\(G'(x)=F'(x)e^{F(x)}=F'(x)G(x)\)

那么就有\((i+1)g_{i+1}=\sum\limits_{j=0}^i{(j+1)f_{j+1}g_{i-j}}\)

外加\(g_0=1\)即可。

\(O(n^2)\)

三角函数

\(G(x)\equiv\sin{F(x)}\)

\(H(x)\equiv\cos{F(x)}\)

求 \(G(x),H(x)\)

Hint:

\(\sin{x}=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\)

\(\cos{x}=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\)

（由欧拉公式得到）

Sol：

直接把\(F(x)\)带进公式，利用\(\exp\)算法即可。

若\(i\)模\(p\)意义下有对应的数，那么可以直接用这个数来运算。

否则可以扩域，复杂度都是\(O(n^2)\)。