各种均摊

有关数学的均摊

比较trivial。但也不是那么trivial。

大概是观察到有那么一个东西在操作中持续变小，然后使用势能分析发现复杂度是正确的。

大概率会有一部分是打暴力，这就是均摊（

颜色段均摊

ODT珂朵莉树/颜色段均摊。

ODT总结

很好的ODT。

势能分析

强而有力的分析复杂度手段。

首先需要明白的一点是，这里分析的都是复杂度上界，分析的好与坏关系着上界的紧与松，好好分析一下或许会发现复杂度还是挺低的。

与之类似的有记账分析，先来谈谈这个。

记账分析是给当前的复杂度较低的操作提前支付一部分费用，之后进行复杂度较高的操作时我们认为使用了提前支付的费用。

以对栈的操作为例，每次push，或者pop，或者连续pop$k$次。

我们可以在每次push时，认为费用是$1$，并且提前支付$1$的费用。之后pop可以认为使用了提前支付的费用。pop$k$次看上去是$O(k)$的，但是也可以与pop同样分析。

于是总复杂度是$O(n)$的，均摊每次操作$O(1)$。

这个的难点在于提前支付的费用需要去猜测调整，以得到一个合适的上界。

而势能分析就是给每个状态设置一个势能，记作$\varphi (S)$。

然后设每次操作的复杂度为$c_i$，又记${\hat{c}}_i=c_i+\varphi (S^{\prime })-\varphi (S)$，$S^{\prime }$表示操作后的状态。

那么$\sum {\hat{c}}_i=\sum c_i+\varphi (S_n)-\varphi (S_0)$。

我们设置$\varphi (S)$时，只要满足$\mathrm{\forall }i,\varphi (S_i)\ge \varphi (S_0)$，那么上面那坨式子分析出来的就是一个上界，每次的${\hat{c}}_i$就是均摊下来的单次代价。