高等数学

微积分

早该学了

微积分包含微分（求导）和积分，二者为互逆运算。

微分（求导）

导数的定义

式子：

$F^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{F(x+\mathrm{\Delta }x)-F(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

导数描述了一个函数的变化趋势，是某一点附近的变化率的最佳近似。

一个转化：$F^{\prime }(x_0)$即函数$F(x)$在$x_0$处的切线的斜率。

导数的求法

显然可以通过定义式推导。这里给出常见函数的导数。

1. $(C{)}^{\prime }=0\text{ （C为任意常数）}$

2. $(x^a{)}^{\prime }=a{x}^{a-1}$

3. $(e^x{)}^{\prime }=e^x$

4. $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$，特别地，$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$

5. $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$

6. $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$

7. $(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

8. $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{v{u}^{\prime }-u{v}^{\prime }}{v^2}$，即分母平方，分子简记为下乘上导减上乘下导。

9. $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$

$3$式其实就是$e$的定义式。

求导的运算法则

1. $(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$

2. $(au{)}^{\prime }=a{u}^{\prime }$

3. $(uv{)}^{\prime }=u{v}^{\prime }+v{u}^{\prime }$，简记为左乘右导加右乘左导。

4. $(F(G(x)){)}^{\prime }=G^{\prime }(x)F^{\prime }(G(x))$（链式法则）

证一下常见函数的导数$9$式：

$(a^x{)}^{\prime }=(e^{x\ln a}{)}^{\prime }=e^{x\ln a}\ln a\text{（链式法则）}=a^x\ln a$

高阶导数

就是导数的导数，变化率的变化率。$F(x)$的$n$阶导数用$F^{(n)}(x)$表示。

特别地，对于幂函数（多项式中的一项），不断求导的过程中也在不断降幂。其系数会产生连乘$\prod$。

例子：

$$\begin{array}{rl}F(x)& =a{x}^m\\ F^{(n)}(x)& =a{m}^{\underset{―}{n}}{x}^{m-n}\end{array}$$

积分

积分的定义

积分理解成面积就行。

积分分为不定积分和定积分，不定积分是一个函数，定积分是一个数值。

求不定积分与求导为互逆运算。

积分的求法

由于求不定积分与求导为互逆运算，我们可以通过已知的导数反推原函数。

• $\int 0\mathrm{d}x=C$

• $\int x^a\mathrm{d}x=\frac{1}{a+1}{x}^{a+1}+C$

• $\int e^x\mathrm{d}x=e^x+C$

• $\int x^{-1}\mathrm{d}x=\ln x+C$

定积分的运算法则

1. ${\int }_a^{b}kF(x)\mathrm{d}x=k{\int }_a^{b}F(x)\mathrm{d}x$

2. ${\int }_a^b[F(x)\pm G(x)]\mathrm{d}x={\int }_a^{b}F(x)\mathrm{d}x\pm {\int }_a^{b}G(x)\mathrm{d}x$

3. ${\int }_a^{b}F(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{c}F(x)\mathrm{d}x+{\int }_c^{b}F(x)\mathrm{d}x$

泰勒展开

简单来说就是用一个多项式$F(x)$拟合一个函数$G(x)$。

从$x=0$入手，可以得到以下式子：

$$\begin{array}{rl}F(0)& =G(0)\\ F^{\prime }(0)& =G^{\prime }(0)\\ F^{″}(0)& =G^{″}(0)\\ F^{(n)}(0)& =G^{(n)}(0)\end{array}$$

显然$F^{(n)}(0)$只与$[x^n]F(x)$有关。

可以得到以下式子：

$$F(x)=G(x)=\sum _{n\ge 0}\frac{F^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$$

这是麦克劳林展开。

将$x=0$换成$x=x_0$，就可以得到泰勒展开的式子：

$$F(x)=G(x)=\sum _{n\ge 0}\frac{F^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$$

（所以麦克劳林展开其实是在$x=0$处的泰勒展开）

分别将$F(x)=\sin x,G(x)=\cos x,H(x)=e^{ix},P(x)=e^{-ix}$麦克劳林展开，可以得到欧拉公式：

$$\begin{array}{rl}{e}^{ix}& =\cos x+i\sin x\\ e^{-ix}& =\cos x-i\sin x\end{array}$$

更进一步地，

$$\begin{array}{rl}\sin x& =\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\\ \cos x& =\frac{e^{i}x+e^{-ix}}{2}\end{array}$$