珂朵莉树总结

常常用于维护颜色段。随机数据下表现优秀，但构造数据随便卡。一定要看是否保证了数据随机。

前置

STL之set。年少不学STL，学珂朵莉树两行泪。

set内部是红黑树，内部不会出现值相同的元素。可重集使用multiset，用法基本与set一致。

插入删除

以下简写set<type>::iterator为iter

• s.insert(x)，插入值为x的元素，返回pair<iter,bool>类型，前一个是指向插入元素的指针，后一个是返回插入是否成功（set中已有等值元素时插入失败）。

• s.erase(x)，删除值为x的所有元素，返回删除的元素个数。

• s.erase(iter p)，删除迭代器为p的元素，要求迭代器合法。

• s.erase(iter l,iter r)，删除迭代器在$[l,r)$的元素。

• s.clear()，清空s。

迭代器

• begin()/cbegin()，指向首元素的迭代器。

• end()/cend()，指向尾端占位符的迭代器，注意此处没有元素。

• rbegin()/crbegin()，指向逆向的首元素，可以理解为最后一个元素。

• rend()/crend()，指向逆向的尾端占位符，对应正向首元素的前一个位置，注意此处没有元素。

以上带c的迭代器为只读类型。

查找

• s.count(x)，返回键值为x的元素个数。

• s.find(x)，返回值为x的元素的迭代器，如果不存在则返回end()。

• s.lower_bound(x)，返回s中首个不小于x的元素的迭代器，如果不存在则返回end()。$O(\log n)$，但是如果用lower_bound(s.begin(),s.end(),x)则$O(n)$。

• s.upper_bound(x)，返回s中首个大于x的元素的迭代器，如果不存在则返回end()。复杂度同上。

• set没有自带的nth_element，于是只能手写平衡树或者权值线段树或者pb_ds来$O(\log n)$查询第$k$大。直接使用nth_element(s.begin(),s.end(),k)是$O(n)$的。

• s.empty()，返回容器是否为空；s.size()，返回容器内元素个数。

正式开始

结点

这样定义珂朵莉树的结点：

struct node{
    int l,r;
    mutable ll v;
    node(const int &_l,const int &_r=-1,const ll &_v=0): ````l(_l),r(_r),v(_v){}
    bool operator<(const node &t) const{
        return l<t.l;
    }
};

我们使用set<node> odt来表示一棵珂朵莉树。``

接下来是核心操作。

$\mathtt{\text{split}}$

给出一段区间$[l,r]$和$pos$，要将其分割成$[l,pos-1],[pos,r]$。

• 先在s中lower_bound找到包含$pos$的区间。

• 如果$pos$是一个区间的左端点，那么不管。

• 否则删除原来的结点，然后插入两个新结点。

返回分裂后右边区间的迭代器。

auto split(int x) {
  auto it=odt.lower_bound(node(x,0,0));
  if (it!=odt.end()&&it->l==x) return it;
  --it;
  int l=it->l,r=it->r,v=it->v;
  odt.erase(it);
  odt.insert(node(l,x-1,v));
  return odt.insert(node(x,r,v)).first;
}

$\mathtt{\text{assign}}$

区间推平操作。防止段数过多导致复杂度退化成暴力。

将区间$[l,r]$全部推平。就是先把$l,r$的迭代器分裂出来，然后把这个区间内的迭代器全部删除，再插入一个。

void assign(int l,int r,int val){
    iter itr=split(r+1),itl=split(l);
    odt.erase(itl,itr);
    odt.insert((node){l,r,val});
}

必须先split(r+1)，再split(l)，因为这样必然不会删掉以$l$作为左区间的元素。而先分裂左端点，在分裂右端点时，可能因为左右端点在同一个段里面导致元素被删除而迭代器失效。

$\mathtt{\text{perform}}$

将一段区间提取出来进行操作，与$\mathtt{\text{assign}}$类似。只是将删除改为遍历。

复杂度

$\mathtt{\text{perform}}$之后立即$\mathtt{\text{assign}}$

数据随机下，是均摊$O(m\log n)$，其中$m$是操作次数，$n$为结点个数，可以认为$n\le m$。

$\mathtt{\text{perform}}$之后不调用$\mathtt{\text{assign}}$

只有在随机数据下正确。set实现的复杂度为$O(n\log \log n)$，list实现是$O(n\log n)$。